From 46d65c03bf5506e5e0431949b292005f69a8671d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Dario48 Date: Wed, 4 Feb 2026 14:19:38 +0100 Subject: [PATCH] init --- formule.tex | 1336 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 1336 insertions(+) create mode 100644 formule.tex diff --git a/formule.tex b/formule.tex new file mode 100644 index 0000000..d4ada57 --- /dev/null +++ b/formule.tex @@ -0,0 +1,1336 @@ +% !TeX TS-program = xelatex +% !TeX encoding = UTF-8 Unicode + +\documentclass{article} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} + +\usepackage{enumitem} + +\usepackage{minted} + +\usepackage{pgfplots} +\usepgfplotslibrary{fillbetween} +\pgfplotsset{compat=1.18} + +\usepackage[a4paper, total={6in, 11in}]{geometry} + +\author{Dario Spinnato\footnote{\url{https://dario48.site}}} + +\usepackage{fontspec} +\usepackage{mathspec} + +\setmathfont{latinmodern-math.otf} +\setmathsfont(Digits){GohuFont 11 Nerd Font} + +\def\degree{^{\circ}} +\newcommand{\n}{\\&} +\newcommand{\nn}{\\&\text} +\def\bs{\symbol{92}} + +\def\o{\text o} + +\begin{document} +\section{proprietà} +\begin{align*} + &\text{commutativa (c)} \implies f(a,b) = f(b,a)\\ + &\text{associativa (a)} \implies f(f(a,b),c) = f(a,f(b,c)) = f(a,b,c) +\end{align*} +\section{insiemi} +\begin{align*} + &s \in S \ \text{appartenenza}\n + s \notin S \ \text{non appartenenza}\n + \emptyset \ \text{insieme vuoto}\n + B \subseteq A \ \text{sottoinsieme}\n + \forall A \quad \emptyset \subseteq A\n + A = B \implies A \subseteq B \wedge B \subseteq A\n + B \subsetneq A \implies B \subseteq A \wedge B \neq A\n + A \cap B = \{x | x \in A \wedge x \in B\}\n + \cap = c, a\n + \forall A \quad A \cap \emptyset = \emptyset\n + A_1 \cap A_2 ... \cap A_100 = \bigcap\limits_{i = 1}^{100}A_i\n + A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}\n + \cup = c,a\n + A \cup A = A\n + A\cup\emptyset=A\n + (A \cap B)\cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)\n + A\cap(B \cup C) = (A \cap B)\cup(A \cap C)\n + U = universo\n + \text{complemento di }A\ A^c = \{x \in U | x\notin A \}\n + (A \cap B)^C = A^C \cup B^C\n + (A \cup B)^C = A^C \cap B^C\n + B\bs A = \{x \in B | x\notin A\}\n + P(A) = \{B|B\subseteq A\}\n + A\text xB = \{(a,b) | a\in A, b\in B\}\n + A_1 \text x A_2 \text x ... \text x A_n = \left\{(a_1, a_2,...,a_n) | a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, ..., a_n \in A_n\right\}\n + \mathbb N\text x \mathbb N\text x \mathbb N = \mathbb N^3\n + \text x = a\n +\end{align*} +\begin{align*} + &\emptyset\text x A = \emptyset\n + (A_1 \cap A_2)\text x B = (A_1 \text x B) \cap (A_2 \text x B)\n + (A_1 \cup A_2)\text x B = (A_1 \text x B) \cup (A_2 \text x B)\n +\end{align*} +\section{relazioni} +\begin{align*} + &A\text p B \subseteq A \text x B \n + a\text p b = (a,b) \subseteq \text p\n + B=A \implies \text{relazione definita su }A\n + \text {p è una relazione di equivalenza se definita su $A$ e}\n + \quad 1)\forall a \in A \quad a\text p a\n + \quad 2)a \text p b \implies b \text p a\n + \quad 3)a\text p b \wedge b\text p c \implies a\text p c\n + \text{se p è una relazione di equivalenza $a$p$b$ si dice $a$ è equivalente a $b$}\n + \text{sia p una relazione di equivalenza su $A$,}\n\quad + \text{la classe di equivalenza modulo p di un $a\in A$ è l'insieme } [a] = \{b\in A | b\text p a\}\n + [a] = [b] \iff a\text p b\n + [a] \neq [b] \implies [a] \cap [b] = \emptyset\n + \text {p è una relazione di ordine(parziale) su A se}\n + \quad 1)\forall a \in A \quad a\text p a\n + \quad 2)a \text p b \wedge b \text p a \implies a=b\n + \quad 3)a\text p b \wedge b\text p c \implies a\text p c\n + \text{parziale significa che non tutti gli elementi sono confrontabili,}\n\quad\text{se ogni 2 elementi sono confrontabili allora è di ordine totale}\n +\end{align*} +\section{massimo,minimo,massimale,minimale} +in generale una relazione di ordine si indica con $\leq$ + +sia $\leq$ una relazione di ordine su un insieme A. un elemento $a\in A$ è detto +\begin{enumerate} + \item massimo: se è confrontabile con ogni elemento di A e risulta che $y\leq a\quad \forall y\in A$ + \item massimo: se è confrontabile con ogni elemento di A e risulta che $a\leq y\quad \forall y\in A$ + \item massimale: $\forall y \in A \wedge y \neq a \nexists a \leq y$ + \item minimale: $\forall y \in A \wedge y \neq a \nexists y \leq a$ +\end{enumerate} +\section{funzioni} +la relazione p è detta funzione e si indica di solito con f se $\forall x \in A, \exists!y\in B,(x,y)\in f$\\ +$f(x)=y, x \in A, y \in B, f: A \to B$ A è dominio B è codominio + +immagine di f: $Im(f) = \{y\in B|\exists x \in A,f(x)=y \}$ + +controimmagine di f: $f^{-1}(y)=\{x\in A|f(x)=y\}$ + +una funzione $f: A \to B$ è detta iniettiva se $\forall x_1,x_2 \in A,x_1\neq x_2,f(x_1)\neq f(x_2)$ + +una funzione $f: A \to B$ è detta suriettiva se $\forall y \in B,\exists x \in A,f(x)=y$ + +biettiva = iniettiva $\wedge$ suriettiva + +quando $f: A \to B$ è biettiva si può costruire la funzione inversa $g: B \to A$ + + +\begin{align*} + &(g\text{ o }f)(x) = x \quad \forall x \in A\n + (f\text{ o }g)(y) = y \quad \forall y \in B\n +\end{align*} + + +siano $f: A\to B$ e $g: B\to C$ definiamo la funzione composizione $(g$ o $f): A \to C$\\ come $(g$ o $f)(x) = g(f(x))$ + +composizione = not c, a + +insieme ordinato = esiste una relazione di ordine totale + +campo = ha due operazioni dove ogno elemento ha un opposto e ogni elemento non nullo è invertibile rispetto alla moltiplicazione + +\section{equazioni} +di primo grado = lineare + +fratte = la x è in qualche frazione, si risolvono con mcm + +disequazioni = soluzioni poi parabola + +disequazioni fratte = il prodotto/quoziente è positivo se e solo se entrambi sono positivi o negativi (risolvi N e D e poi tabella li strana) + +\section{sistemi} +\begin{equation} + \begin{cases} + equazione_1\\ + equazione_2\\ + \vdots\\ + \vdots\\ + \end{cases} +\end{equation} +verificato quando tutte vere, roba con rigette + +\section{radice quadrata} +$\forall x \in \mathbb R,x \geq 0. y\geq0,\exists!y, y^2 = x $ + +\begin{align*} + &\sqrt{f(x)} = g(x)\n + \updownarrow\n + \begin{cases} + f(x) \geq 0\\ + g(x) \geq 0\\ + f(x)=g^2(x) + \end{cases}\n + (\text{campo di esistenza})\n +\end{align*} + +\begin{align*} + &\sqrt[3]{f(x)} = g(x)\n + \updownarrow\n + f(x)=g^3(x) +\end{align*} + +\begin{align*} + &\sqrt{f(x)} \geq g(x)\n + \updownarrow\n + \begin{cases} + f(x) \geq 0\\ + g(x) \geq 0\\ + f(x)\geq g^2(x) + \end{cases} \bigcup + \begin{cases} + f(x)\geq0\\ + g(x)<0 + \end{cases} + \n + (\text{campo di esistenza})\n +\end{align*} + +\begin{align*} + &\sqrt{f(x)} > g(x)\n + \updownarrow\n + \begin{cases} + f(x) \geq 0\\ + g(x) \geq 0\\ + f(x)> g^2(x) + \end{cases} \bigcup + \begin{cases} + f(x)\geq0\\ + g(x)<0 + \end{cases} + \n + (\text{campo di esistenza})\n +\end{align*} + +\begin{align*} + &\sqrt{f(x)} \leq g(x)\n + \updownarrow\n + \begin{cases} + f(x) \geq 0\\ + g(x) \geq 0\\ + f(x)\leq g^2(x) + \end{cases}\n + (\text{campo di esistenza})\n +\end{align*} + +\begin{align*} + &\sqrt{f(x)} < g(x)\n + \updownarrow\n + \begin{cases} + f(x) \geq 0\\ + g(x) \geq 0\\ + f(x) < g^2(x) + \end{cases}\n + (\text{campo di esistenza})\n +\end{align*} + +\begin{align*} + &\sqrt[3]{f(x)} \geq g(x)\n + \updownarrow\n + f(x)\geq g^3(x) +\end{align*} +\begin{align*} + &\sqrt[3]{f(x)} \leq g(x)\n + \updownarrow\n + f(x)\leq g^3(x) +\end{align*} +\begin{align*} + &\sqrt[3]{f(x)} > g(x)\n + \updownarrow\n + f(x)>g^3(x) +\end{align*} +\begin{align*} + &\sqrt[3]{f(x)} < g(x)\n + \updownarrow\n + f(x)0,a\neq1,y>0,\exists!x,a^x=y$\quad $x=\log_a y$ + +$\ $\\ +e = numero di nepero, reale ma non razionale, $\log_e = \ln$ + +$\ $\\ +$a^{\log_a x} = x, x>0$\\ +$log_a {a^x} = x, \forall x\in\mathbb R$ + +\begin{enumerate} + \item $\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$ + \item $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$ + \item $\log_a(x^b) = b\log_a(x), b\in \mathbb R $ + \item $\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$ +\end{enumerate} + +$\ $\\ +$|f(x)| = |g(x)| \leftrightarrow f(x)=g(x) \vee f(x) = -g(x) $ + +\paragraph \ + +\begin{align*} + &|f(x)| = g(x)\n + \updownarrow\n + \begin{cases} + f(x) \geq 0\\ + f(x)= g(x) + \end{cases} \bigcup + \begin{cases} + f(x)\geq0\\ + -f(x)=g(x) + \end{cases} + \n + (\text{campo di esistenza})\n +\end{align*} + +notazione: $a|b \Leftrightarrow \exists c,b=c\cdot a$ + +$a,b\in\mathbb Z, a,b\neq 0,\exists MCD(a,b)=d,d=ax+by\leftarrow$ identit\`a di bezout + +teorema fondamentale dell'aritmetica: +\begin{align*} + &\begin{cases} + \forall n\in\mathbb N, n\neq0,1\exists P=\{(p_0, m_0), (p_1,m_1)...(p_n, m_n)\},\prod\limits_{(p, m)\in P}p^m=n\\ + \forall z\in\mathbb Z, z\neq-1,0,1\exists P=\{(p_0, m_0), (p_1,m_1)...(p_n, m_n)\},\prod\limits_{(p, m)\in P}p^m=z + \end{cases} \implies\n + \implies D = \{x^n| \} +\end{align*} + + +(usando la definizione delle coppie di Kuratowski) +\begin{align*} + &p=(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\} \implies + \begin{cases} + \bigcap p = \bigcap \{\{x\},\{x,y\}\}=\{x\}\cap \{x,y\} = \{x\}\\ + \bigcup p = \bigcup \{\{x\},\{x,y\}\}=\{x\}\cup \{x,y\} = \{x,y\} + \end{cases} \implies \n + \implies + \begin{cases} + \pi_1(p) = \bigcup \bigcap p = \bigcup \{x\} = x\\ + \pi_2(p) = \bigcup\left\{\left. a \in \bigcup p\,\right|\,\bigcup p \neq \bigcap p \rightarrow a \notin \bigcap p \right\} = + \end{cases}\n + \kern 58pt = \bigcup\left\{\left. a \in \{x,y\}\,\right|\,\{x,y\} \neq \{x\} \rightarrow a \notin \{x\} \right\} = \bigcup \{y\} = y +\end{align*} + +\begin{math} + \begin{cases} + MCD(a,b) = \prod \{x^n|x=\pi_1(P_1)\wedge x=\pi_1(P_2),n=\min\{\pi_2(P_1),\pi_2(P_2)\}, P_1\subseteq P_a, P_2 \subseteq P_b\}\\ + MCM(a,b) = \prod \{x^n|x=\pi_1(P_1)\vee x=\pi_1(P_2),\\ + \kern 93pt n=\max\{\pi_2(m)|m\subseteq \{P|P=P_1, x=\pi_1(P_1)\}\cup\\ + \kern 188pt \{P|P=P_2,x=\pi_1(P_1)\} \}, P_1\subseteq P_a, P_2 \subseteq P_b\}\\ + \end{cases} +\end{math} + +$MCD(a,b)\cdot MCM(a,b)=a\cdot b$ + +\begin{minted}{haskell} +mcd :: Int -> Int -> Int +mcd a b + | r1 == 0 = b + | otherwise = mcd b r1 + where r1 = a `mod` b +\end{minted} + +se MCD(a,b) = 1 si dice che a, b sono coprimi tra loro + +\paragraph{equazione diofantee} +$5x + 3y = 16$, determinare tutte le soluzioni (x, y) intere dell'equazione + +basta risolvere $5u + 3v = 1$, infatti dopo multiplico per 16, 5(16u) + 3(16v) = 16 +\begin{math} \left( \begin{cases} + x = 16 U\\ + y = 16V +\end{cases}\right) +\end{math} + +5u+3v è un'identità di bezout, si può realizzare? si, perché (5, 3) = 1 +\begin{align*} + &5=3\cdot1+2, r_1 = 2\n + 3=2\cdot1 + 1, r_2 = 1\n + 2=1\cdot2 + 0, \text {stop} +\end{align*} +$MCD(5,3)=r_2=1$ + +bezout: +\begin{align*} + 1&=3-2\cdot1\n + =3-(5-3\cdot1)\cdot1\n + =3-5\cdot1+3\cdot1\n + =3\cdot2-5\cdot1 +\end{align*} +$u = -1$\\ +$v = 2$ + +una soluzione di 5x+3y=16 è +\begin{math} + \begin{cases} + x=16u=-16\\ + y=16v=32 + \end{cases} +\end{math} + +tutte le soluzioni sono $(x-3h, y+5h)$, in quanto $5(x-3h)+3(y+5h)=5x-15+3y+15=5x+3y=16$\\ +quindi le soluzioni sono $(x,y)=(-16-3h,32+5h) \forall h \in \mathbb Z $ + +ax+by=c ha solozioni intere $\iff (a,b)|c$ + +\paragraph \ + +su $\mathbb Z$ definiamo una relazione $a\text p_n b \iff a\cong b \mod n$\\ +le classi di equivalenza sono $[a]_n = \{b\in\mathbb Z|a\text p_n n\}$ +l'insieme quoziente è l'insieme delle classi di equivalenza, lo si indica con $\mathbb Z_n = \{[m]_n |\forall m \in \mathbb N, 0 \leq m < n\}$ + +\paragraph{congruente in $\mathbb Z$} + +a è congruente a b modulo n se $n\in\mathbb N, n\geq1, a,b\in\mathbb Z, a \mod n = b \mod n \implies b-a=kn,n|(a-b)$ + +la relazione di congruenza mod n è una relazione di equivalenza qualsiasi sia $n\in \mathbb N_0$ +\begin{align*} + &\text{riflessiva}:\forall a \in \mathbb Z, a \cong a\mod n (n|(a-a) = n|0)\nn + {simmetrica}: \forall a,b \in \mathbb Z, a\cong b \mod n \implies b \cong a \mod n (n|(b-a) = n|-(a-b))\nn + {transitiva}: + \begin{aligned} + &\forall a,b,c \in \mathbb Z, a\cong b \mod n \wedge b\cong c \mod n \implies a\cong c \mod n \n + (n|(b-a) \wedge n(c-b) \implies n|(b-a + c-b) = n|(c-a) + \end{aligned} +\end{align*} + +\paragraph {classi di equivalenza} +quante sono? quante n + +$[0]_n,[1]_n,[2]_n,...,[n-1]_n$ + +$[0]_n = \{a\in\mathbb Z| a\cong 0\mod n\}$ + +$\forall a,b \in\mathbb Z,[a]_n + [b]_n = [a+b]_n$ + +$\forall a,b \in\mathbb Z,[a]_n \cdot [b]_n = [a\cdot b]_n$ + +$[a] \text{ invertibile in } \mathbb Z_n \iff \exists[x], [a]\cdot[x]=[1]\iff[a\cdot x]=[1]\iff ax\cong1 \mod n \iff n|(ax-1) \iff ax-1=kn, k\in\mathbb Z \iff ax-kn=1,k\in\mathbb Z\iff MCD(a,n)=1 $ + +$\mathbb Z \rightarrow \frac {\mathbb Z} {n\mathbb Z} = \{[m]_n | m\in \mathbb N, 0 \leq m < n\}$ + +$ax\cong b \mod n,d=(a.n)$ ammette una soluzione $\iff d|b$, in caso $x_0$ è una soluzione, tutte le altre sono $x=x_0 + \frac n d k, k\in\mathbb Z$ + +siano $n_1,...,n_r\in\mathbb N > 0$\\ +siano $b_1,...,b_r\in\mathbb Z$\\ +allora +\begin{enumerate} + \item il sistema \begin{math} + \begin{cases} + x\cong b_1 \mod n_1\\ + \vdots\\ + x\cong b_r \mod n_r + \end{cases} + \end{math} + \item tutte le soluzioni sono della forma $c+kn_1\cdot n_2 \cdot...\cdot n_r$, cioè la soluzione $[c]_{n_1\cdot...\cdot n_r}$ +\end{enumerate} + +algoritmo: risolvo indipendetemente le congruenze, per i=1,...,r +\begin{enumerate} + \item $N_iy_i=1\mod n_i, N_i=\prod\limits^r_{j=1,j\neq i}n_j$\\ + esempio:\\ + \begin{math} + \begin{cases} + x\cong 3\text{mod} 8,b_1=3,n_1=8,N_1y_1=1\text{mod} n_1\Rightarrow 5\cdot 21y_1\cong 1\text{mod}8\Rightarrow y_1\cong \text{tot}_1\text{mod}8\\ + x\cong -1\text{mod} 5,b_2=-1,n_2=5,N_2y_2=1\text{mod} n_2\Rightarrow 8\cdot 21y_2\cong 1\text{mod}5\Rightarrow y_2\cong \text{tot}_2\text{mod}5\\ + x\cong 27\text{mod} 21,b_3=27,n_3=21,N_3y_3=1\text{mod} n_3\Rightarrow 8\cdot 5y_3\cong 1\text{mod}21\Rightarrow y_3\cong \text{tot}_3\text{mod}21 + \end{cases} + \end{math} + + \item pongo $c=\sum\limits^r_{i=1}b_iy_iN_i$ +\end{enumerate} + +\paragraph{teorema cinese del resto generalizzato} +il sistema \begin{math} + \begin{cases} + x=b_1\mod n_1\\ + \vdots\\ + x=b_r\mod n_r + \end{cases} +\end{math} ha soluzione $\iff \forall i,j \leq r, MCD(n_1,n_j)|(b_1-b_j)$, una soluzione $c$ e le altre nella forma $c+kMCM(n_1,...,n_r)$ + +\paragraph{funzione di eulero} se A è un insieme finito, il simbolo $\#A$ indica il numeri di elementi di A + +$\forall n\in\mathbb N, n \geq 1, \phi(n) = \#\{ a\in\mathbb Z|0 Int +eulero n + | isPrimo n = n-1 + | isPrimo (h `sqrt` p) = (p `pow` h) - (p `pow` (h-1)) + | otherwise = map eulero $ toFattoriPrimi n + where h >= 1 + +\end{minted} + +\paragraph{piccolo teorema di fermat} \ \\ +$a \in \mathbb Z, p>0, p\text{ primo}\implies a^p\cong a \mod p$\\ +$(a,p)=1\implies a^{p-1}\cong 1 \mod p$ + +\section{basi} +$\forall n\geq 2,\forall a \in \mathbb N, a\geq 0, \exists!A_n=\{B\in \mathbb R^2 | \#B < \infty, \prod\limits_{r = \pi_1(p), n = \pi_2(p), p\subseteq B}rn^h=a \}$ + +\begin{minted}{haskell} +basechange :: Int -> Int -> [Int] +basechange a n = _basechange a n n +_basechange :: Int -> Int -> Int -> [Int] +_basechange a n e + | e == 0 = [a `mod` n] + | otherwise = a `mod` n : _basechange (a `div` n) n (e - 1) +\end{minted} + +\section{trigonometria} + \begin{tikzpicture} + \begin{axis} + [ + title=circonferenza raggio 1, + xlabel={$x$}, + ylabel={$y$}, + unit vector ratio=1 1, + grid, + xmin=-2, + xmax=2, + ymin=-2, + ymax=2, + xtick={-2,...,2}, + ytick={-2,...,2} + ] + \draw(axis cs:0,0) circle[blue, radius=1]; + \draw[darkgray] (0,0) |- (0.86,0.5) |- cycle; + \addplot[color=black, mark=square, draw=none] coordinates {(0,0.5)} node[left]{$\sin x$}; + \addplot[color=black, mark=square, draw=none] coordinates {(0.86,0)} node[below left]{$\cos x$}; + \addplot[color=black, mark=square, draw=none] coordinates {(0.86,0.5)} node[above right]{P$=(\cos x,$ } node [right] {$\qquad \sin x)$} ; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + + $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ + periodiche in periodo 2$\pi$ + \begin{align*} + &\sin(x + 2\pi) = \sin x\n + \cos (x+2\pi) = \cos x + \end{align*} + $\sin -x = -\sin x$\\ + $\cos -x = \cos x$ + \begin{align*} + &\sin (\pi - x) = \sin x\n + \cos (\pi - x) = -\cos x\n + \sin (\pi + x) = -\sin x\n + \cos (\pi + x) = -\cos x\n + \sin (2x) = 2\sin x \cos x\n + \cos (2x) = \cos^2 x - \sin^2 x\n + \sin \left( \frac x 2 \right) = \pm \sqrt {\frac {1-\cos x}2 }\n + \cos \left(\frac x 2 \right) = \pm \sqrt{ \frac {1+\cos x} 2 } + \end{align*} + + $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$\\ + $\tan \frac \pi 4 = 1, \tan \frac \pi 6 = \frac {\sqrt 3} 3, \tan \frac \pi 3 = \sqrt 3$\\ + periodica di periodo $\pi$ + \begin{align*} + &\tan(x + \pi) = \tan x + \end{align*} + + $\cot = \text{cotan} = \frac {\cos x}{\sin x}$ + + $180\degree = \pi$ + + \begin{align*} + &\sin 0 = 0, \cos 0 = 1, \tan 0 = 0\n + \sin \frac \pi 2 = 1, \cos \frac \pi 2 = 0,\tan \frac \pi 2 = \emptyset \n + \sin \pi = 0, \cos \pi = -1, \tan \pi = 0\n + \sin \frac{3\pi}2 = -1, \cos \frac{3\pi}2 = 0, \tan \frac {3\pi} 2 = \emptyset + \end{align*} + + \begin{align*} + &\cos (x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\n + \cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\n + \sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\n + \sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y + \end{align*} + + \begin{tikzpicture} + \begin{axis} + [ + title=funzioni trigonometriche, + xlabel={$x$}, + ylabel={$y$}, + unit vector ratio=1 1, + grid, + xmin=-2*pi, + xmax=2*pi, + ymin=-2, + ymax=4, + xtick={-2*pi, (-3/2) * pi,-pi,- pi/2,0, pi/2,pi, (3/2) * pi,2*pi}, + ytick={-1,...,1}, + restrict y to domain=-10:10 + ] + \addplot[color=red, no marks, smooth, domain=-2*pi:2*pi] {sin(deg(x))}; + \addlegendentry{$\sin x$} + \addplot[color=blue, no marks, smooth, domain=-2*pi:2*pi] {cos(deg(x))}; + \addlegendentry{$\cos x$} + \addplot[color=violet, no marks, smooth, domain=-2*pi:2*pi, samples=100] {tan(deg(x))}; + \addlegendentry{$\tan x$} + \addplot[color=purple, no marks, smooth, domain=-2*pi:2*pi, samples=100] {cot(deg(x))}; + \addlegendentry{$\cot x$} + \end{axis} + \end{tikzpicture} + + DISEQUAZIONI: + + \begin{align*} + &\cos x > \frac {\sqrt 2} 2\n + 2k\pi - \frac \pi 4 < x < \frac \pi 4 + 2k\pi + \end{align*} + +\section {triangoli rettangoli} + + \begin{tikzpicture} + \begin{axis} + [ + title=triangolo retangolo, + unit vector ratio=1 1, + xmin=-2, + xmax=3, + ymin=-2, + ymax=0, + axis lines = none, + ] + \draw (-1,-1) -- node[below]{$a = c \cdot \cos \alpha$} (1, -1) -- node[right]{$b = c \cdot \sin \alpha$} (1, 0) -- node[above left]{$c$} cycle; + \draw(axis cs:-0.5,-1) arc[radius=0.5, start angle=0, end angle=27] node[below right]{$\alpha$}; + \draw (1, -1) -| (0.75, -0.75) -| cycle; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + +\section{immaginari} +Re(x) = parte reale +Im(y) = parte immaginaria + +se $z = x+i y$ il coniugato è $\overline z = x-i y$ + +due complessi sono uguali se hanno stesso modulo e stesso argomento a meno di multipli di $2\pi$ +\begin{math} + \begin{cases} + x_1 = x_2\\ + y_1 = y_2 + 2k\pi + \end{cases} +\end{math} + +operazioni sui complessi: +\begin{align*} + &\text{somma } (x+iy) + (x'+iy')= x+x' + i(y+y')\n + \text{prodotto } (x+iy) \cdot (x'+iy') = xx' + ixy' + iyx' + i^2yy' = xx' - yy' + i (xy' + yx') +\end{align*} + +modulo di $z=x+iy$ è $|z|=\sqrt{x^2 + y^2}$ + +$|z|^2 = z \overline z $ + + +\begin{align*} + &\overline{z_1 + z_2} = \overline z_1 + \overline z_2\n + \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline z_1 \cdot \overline z_2\n + \overline {\left(\frac{1}{z}\right)} = \frac{1}{\overline {z}}\n + \overline {\overline z} = z +\end{align*} +\begin{align*} + &|z| \geq 0\n + z=0 \iff |z|=0\n + |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\n + |z| = |\overline z|\n + |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\n +\end{align*} + +\begin{tikzpicture} + \begin{axis} + [ + title=forma trigonometrica, + unit vector ratio=1 1, + xmin=-1, + xmax=3, + ymin=-1, + ymax=2, + axis lines = center, + ticks = none, + ] + \draw (0,0) -- node[below]{$x$} (2, 0) -- node[right]{$y$} (2, 1) node[above right]{$z=x+iy$} -- node[above left]{p} cycle; + \draw [dotted] (0, 1) -- (2, 1); + \draw [red] (0, 1) -- node[left]{$y$} (0, 0); + \draw(axis cs:0.5,0) arc[radius=0.5, start angle=0, end angle=27] node[right]{$\phi$}; + \end{axis} +\end{tikzpicture} + +p = $|z|$ + +$\phi$ = angolo formato dal segmento e asse x + +\begin{math} +\begin{cases} + \cos \phi = \frac x{\text p}\\ + \sin \phi = \frac y {\text p} +\end{cases} +\end{math} + +$z=x+iy=\text p \cos \phi + i(\text p \sin \phi) = \text p (\cos \phi + i \sin \phi)$ + +p = modulo di $z$ + +$\phi$ = argomento di $z$ + +altra formula per $\phi$ + +$\phi =$ +\begin{math} + \begin{cases} + \arctan \frac y x \qquad \text{se $x>0$ e $y$ qualsiasi}\\ + \arctan \frac y x + \pi \qquad \text{se $x<0$ e $y\geq 0$}\\ + \arctan \frac y x + \pi \qquad \text{se $x<0$ e $y< 0$}\\ + \frac \pi 2 \qquad \text{se $x=0$ e $y>0$}\\ + -\frac \pi 2 \qquad \text{se $x=0$ e $y<0$}\\ + \end{cases} + , \phi \in (-\pi,\pi] +\end{math} + + +DE MOIVRE +\begin{align*} + &z_1 = \text p_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1)\n + z_2 = \text p_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)\n + z_1\cdot z_2 = \text p_1 \text p_2 (\cos\phi_1i\sin\phi_1)(\cos\phi_2i\sin\phi_2)=\n + =\text p_1 \text p_2(\cos\phi_1\cos\phi_2+i\cos\phi_1\sin\phi_2+i\sin\phi_1\cos\phi_2+i^2\sin\phi_1\sin\phi_2)\n + =\text p_1 \text p_2(\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2+i(\cos\phi_1\sin\phi_2+\sin\phi_1\cos\phi_2))\n + =\text p_1 \text p_2(\cos(\phi_1+\phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)) +\end{align*} +generalizzando +\begin{align*} + &z_1\cdot z_2 \cdot ... \cdot z_n = \text p_1 \text p_2 .. \text p_n (\cos(\phi_1 + \phi_2 + ... + \phi_n) + i\sin(\phi_1 + \phi_2 + ... + \phi_n))\n + z^n=\text p^n(\cos(n\cdot\phi)+i\sin(n\cdot\phi)) +\end{align*} + +DE MOIVRE per i quozienti + +\begin{align*} + &z_1 = \text p_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1)\n + z_2 = \text p_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)\n + \frac {z_1} {z_2} = \frac {\text p_1}{\text p_2}(\cos(\phi_1-\phi_2)+i\sin(\phi_1-\phi_2)) +\end{align*} + +radici n-esime + +$\sqrt[n]w=z, z^n=w$ + +sia $w=r(\cos\phi+i\sin\phi) \neq 0$ + +w ammette esattamente n radici n-esime + +queste sono +\begin{align*} + &k = \{x|x \geq 0\wedge xk>n_0 \implies P(n+1) \implies \forall n \geq n_0, P(n)$ + +\section {gruppi} +un gruppo $(G,*)$ è un insieme $G$ dotato di una operazione binaria +\begin{align*} + *:&G\text xG\rightarrow G\n + (a,b)\rightarrow a*b +\end{align*} +che verifica le seguenti proprietà +\begin{enumerate}[label=(\emph{\alph*})] +\item * è associativa $\forall a,b,c\in G, (a*b)*c=a*(b*c)$ +\item $\exists e\in G$ detto elemento neutro rispetto all'operazione *: $\forall a\in G, e*a=a = a*e=a$ +\item $\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G$ detto elemento inverso tale che $a*a^{-1}=e=a^{-1}*a$ +\end{enumerate} + +se inoltre vale che $\forall a,b\in G, a*b=b*a$, si diche che (G,*) è un gruppo abeliano + +$\exists!e\in (G,*),\forall a\in G, a*e=a=e*a$ + +$\exists!a^{-1}\in (G,*),\forall a \in G, a*a^{-1}=e=a^{-1}*a$ + +$\forall a,b \in (G,*), (a\cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1}$ + +$\forall a\in G, \left(a^{-1}\right)^{-1} = a$ + +\begin{align*} + &\forall g\in(G, *), \forall i \in\mathbb Z\n + g^i= + \begin{cases} + g*g*g*...*g\\ + e\\ + g^{-1}*g^{-1}*...*g^{-1} + \end{cases} + \begin{aligned} + &i>0\n + i=0\n + i<0 + \end{aligned} +\end{align*} + +l'ordine $r$ di $g\in G$ è il più piccolo intero positivo $r$ tale che $g^r=e$. È indicato con $o(g)$. Se $\nexists r$ si dice che $g$ ha ordine infinito + +un gruppo è detto finito di ordine R se G ha un numero finito di elementi uguale a R + +si indica con $|G|$ il numero di elementi di G (che è anche il suo ordine se è finito) + +\paragraph{Lagrange} +$\forall g \in G, |G| < \infty \implies o(g)||G|$ + +un gruppo G è detto ciclico se $\exists g \in G,\forall a \in G,\exists i\in \mathbb Z, a^i=g,g^0=e \implies G=$ + +\begin{enumerate} + \item $|G|=1 \implies G=\{e\}$ + \item $|G|=2, G=\{a,a^2=e\} = $, è un gruppo ciclico\\ + \begin{tabular}{c|c|c} + * & e & a\\ \hline + e & e & a\\ \hline + a & a & e + \end{tabular} + \item $|G|=3, G=\{g,g^2,g^3=e\}=$, ciclico\\ + \begin{tabular}{c|c|c|c} + $*$ & $e$ & $g$ & $g^2$ \\ \hline + $e$ & $e$ & $g$ & $g^2$ \\ \hline + $g$ & $g$ & $g^2$ & $e$ \\ \hline + $g^2$ & $g^2$ & $e$ & $g$ + \end{tabular} + \item $|G|=4$, due strutture distinte di gruppo: + \begin{enumerate} + \item il gruppo ciclico: $G=\{g,g^2,g^3,e=g^4\}=$\\ + \begin{tabular}{c|c|c|c|c} + $*$ &$e$ & $g$ & $g^2$ & $g^3$ \\ \hline + $e$ &$e$ & $g$ & $g^2$ & $g^3$ \\ \hline + $g$ &$g$ & $g^2$&$g^3$ & $e$ \\ \hline + $g^2$&$g^2$& $g^3$&$e$ & $g$ \\ \hline + $g^3$&$g^3$& $e$ &$g$ & $g^2$ + \end{tabular} + \item il gruppo di klein: $G=\{e,a,b,c=a*b=b*a\}$\\ + \begin{tabular}{c|c|c|c|c} + $*$ & $e$ & $a$ & $b$ & $c$ \\ \hline + $e$ & $e$ & $a$ & $b$ & $c$ \\ \hline + $a$ & $a$ & $b$ & $c$ & $e$ \\ \hline + $b$ & $b$ & $c$ & $e$ & $a$ \\ \hline + $c$ & $c$ & $e$ & $a$ & $e$ + \end{tabular} + \end{enumerate} + \item $|G|=5,G=\{g,g^2,g^3,g^4,e=g^5\}=$, ciclico + \item $|G|=6$ molte strutture +\end{enumerate} + +se $|G|=p$ primo allora $G$ è ciclico + +se $|G|\leq5$ allora $G$ è abeliano. ci sono gruppi non abeliani a partire da ordine 6 + +ogni gruppo ciclico è abeliano + +\paragraph{gruppi di permutazione}/gruppo simmetrico $S_n$ + +$\{1,2,3,4,...,n\}=x\rightarrow \{1,2,3,4,...,n\}$ + +funzioni bigettive + +$S_n=\{\text{funzioni bigettive da }\{1,...,n\} \rightarrow \{1,...,n\} \}$ + +$|S_n|=n!$ + +operazione: composizione $f\o g$ + +$x\xrightarrow gx\xrightarrow fx$ + +$x-g(x)-f(g(x)):=f\o g(x)$ + +neutro: $id\o g(x)=g(x)$ + +inverso: $f\o f^{-1}=f^{-1}\o f=id$ ($f(x)=y,f^{-1}(y)=x$) + +Permutazioni "facili": scambi: +\begin{math} + \begin{pmatrix} + 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ + 2 & 1 & 3 & 4 & 5 + \end{pmatrix} : (1\ 2) +\end{math}: stiamo scambando solo 1 con 2 + +Cicli: +\begin{math} + \begin{pmatrix} + 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ + 2 & 3 & 1 & 4 & 5 + \end{pmatrix} : (1\ 2\ 3)(4)(5) = (2\ 3\ 1)(5)(4) = (4)(5)(3\ 1\ 2) +\end{math} + +$(a\ b)^2 = (a\ b)\o(a\ b)=id$ + +$\sigma:(a_1...a_n)$ + +\paragraph {anelli} strutture algebriche con 2 operazioni + +un anello $(R,+,\cdot)$ è un insieme R dotato di due operazioni binarie: +\begin{align*} + +:R\text xR &\rightarrow R\\ + \cdot:R\text xR &\rightarrow R +\end{align*} + +tali che +\begin{enumerate} +\item + \begin{enumerate} + \item + è associativa: $(a+b)+c = a+(b+c)$ + \item esiste l'elemento neutro $0\in R$ rispetto alla +: $\forall a\in R, a+0=a=0+a$ + \item $\forall a \in R,\exists-a\in R$ detto elemento opposto tale che: $a+(-a) = 0 = (-a)+a$ + \item + è commutativa: $\forall a,b\in R,a+b=b+a$ + \end{enumerate} +\item $\cdot$ è associativa: $\forall a,b,c\in R, a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ +\item valgono le leggi distributive: + \begin{align*} + &a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c\n + (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c + \end{align*} +\end{enumerate} + +(R, +) è un gruppo abeliano + +se vale che $\cdot$ è commutativo si dice che $(R,+,\cdot)$ è commutativo + +se vale che esiste l'elemento neutro $1\in R$ rispetto al prodotto, si dice che l'anello è unitario + +un campo è un anello commutativo unitario in cui ogni elemento diverso da 0 è invertibile + +\paragraph{anello dei polinomi} a coefficienti in $A:A[x]$ + +sia $A=(A,+,\cdot)$ un anello + +$\{0\}\cup\{\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i | n\in\mathbb N,a_i\in A\}$ + +grado di un polinomio:\[\begin{aligned} + &\text{grado}(0) = -1\n + \text{grado}(\sum\limits^n_{i=0}a_1x^i=\max\{i|a_1\neq0\} +\end{aligned}\] + +monomio: $a_ix^i$ + +operazioni: +: è la classica somma termine a termine $\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i+\sum\limits^n_{i=0}b_ix^i=\sum\limits^n_{i=0}(a_i+b_i)x^i$ + +prodotti: stesso discorso $\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i\cdot \sum\limits^n_{i=0}b_ix^i=\sum\limits^n_{i=0}(a_i\cdot b_i)x^i$ + +teorema ruffini: se $P(x)\in A[x]$, A campo, $a\in A, P(a)=0$ (a è radice di P(x)) $\iff (x-a)|P(x)$ + +\paragraph{matrice} fissiamo A anello, una matrice di tipo $(m,n)$, con $m,n \in\mathbb N, m\geq 1 \leq n$ è una tabella $M$ di $m\text xn$ elementi di A + +\begin{math} + \begin{pmatrix} + r_1\\ + r_1\\ + \vdots\\ + r_m + \end{pmatrix} = + \begin{pmatrix} + c_1 | ... | c_n + \end{pmatrix}= + \begin{pmatrix} + a_{11}\ a_{12}\ ...\ a_{1n}\\ + \vdots\ \vdots\ a_{i,j}\ \ \ \ \ \\ + a_{m1}\ a_{m2}\ ...\ a_{mn} + \end{pmatrix} + , a_{ij}, i=\text{riga}, j=\text{colonna} +\end{math} + +$M=(a_{i,j})_{i\leq m,j\leq n}$ + +$a_{i,j}$ sono i coefficienti/entrate di M + +$(m,n)$ è la dimensione della matrice, se M è quadrata (cioè $m=n$) si dice anche che è quadrata di dim. $n$ + +$M_{m\text xn}(A)=M_{m,n}(A):=$l'insieme delle matrici di dimensione (m,n) a coefficienti in A + +somma: $m_1\neq m_2 \vee n_1 \neq n_2$ non si somma +\[ + m_1 == m_2 \wedge n_1 == n_2, + \begin{pmatrix} + a_{11}\ ...\ a_{1n}\\ + \vdots\ \ddots\ \vdots\\ + a_{m1}\ ...\ a_{mn} + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + b_{11}\ ...\ b_{1n}\\ + \vdots\ \ddots\ \vdots\\ + b_{m1}\ ...\ b_{mn} + \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} + a_{11}+b_{11}\ ...\ a_{1n}+b_{1n}\\ + \vdots\qquad\ddots\qquad\vdots\\ + a_{m1}+b_{m1}\ ...\ a_{mn}+b_{mn} + \end{pmatrix} +\] + +\begin{enumerate} + \item $A+B=B+A$ + \item $A+(B+C)=(A+B)+C$ + \item elemento neutro \begin{math} 0 = \begin{pmatrix} + 0\ ...\ 0\\ + \vdots\ddots\vdots\\ + 0\ ...\ 0 + \end{pmatrix}\end{math} +\item opposto di $A$ è $-A$ = \begin{math} + \begin{pmatrix} + -a_{11}...-a_{1n}\\ + \vdots\ddots\vdots\\ + -a_{m1}...-a_{mn} + \end{pmatrix} +\end{math} +\end{enumerate} + +operazione di trasposta: "rifletti" $A=(a_{ij}), A^T=(at_{ji}), a=at$ + +$\left(A^T\right)^T = A$ + +l'operazione di transposizione è idempotente + +$A\in M_{2\text x3}(\mathbb K),A^T\in M_{3\text x2}(\mathbb K)$ + +$A\in M_{n\text xm}(\mathbb K),A^T\in M_{m\text xn}(\mathbb K)$ + +A è simmetrica se $A^T=A$ + +prodotto esterno: $\forall k \in \mathbb K,\forall A\in M_{n\text xm}(\mathbb K), A=(a_{i,j}),k\cdot A = (ka_{i,j})$ + +prodotto interno: $v=(a_1...a_n), w=\begin{pmatrix} + b_1\\ + \vdots\\ + b_n +\end{pmatrix}$, il prodotto vettore $v\cdot w=\sum\limits^n_{i=1}a_ib_i\in\mathbb K$ + +prodotto tra matrici: $A\in M_{m\text xn}(\mathbb K),A\in M_{n\text xh}(\mathbb K), C\in M_{m\text xh}, c_{i,j}=\sum\limits^n_{r=1}a_{ir}b_{rj} $ + +\begin{enumerate} + \item $(A+B)\cdot C = AC+BC$\\ + $A\cdot (C+D) = AC+AD$ + \item $\forall k\in\mathbb K A(kB)=(kA)B=kAB$ + \item $(AB)C=A(BC):=ABC$ + \item elemento neutro nel caso quadrato: $I_n=\begin{pmatrix} + 1\ \ 0\ ...\ 0\\ + 0\ddots\ddots\vdots\\ + \vdots\ddots\ddots\vdots\\ + 0\ ...\ ...\ 1 + \end{pmatrix}$ + \item $(AB)^T=B^TA^T$ + \item $(A+B)^T=A^T+B^T$ +\end{enumerate} + +\paragraph{matrici invertibili} $M(\mathbb R,n) = \{\text{matrici quadrate $n$x$n$ a coefficienti in }\mathbb R\}$ + +$(M(\mathbb R,n),+,\cdot)$ anello non commutativo, è unitario, esiste l'elemento neutro rispetto al prodotto che è la matrice identità $I = \begin{pmatrix}1\qquad0\\\ddots\\0\qquad1\end{pmatrix}\in M(\mathbb R,n),\forall A\in M(\mathbb R), A\cdot I = A = I \cdot A$ + +una matrice quadrata $N$x$N$ è invertibile se esiste una matrice $A^{-1}$ quadrata $N$x$N$ tale che $A\cdot A^{-1}=I$ e $A^{-1}\cdot A=I$ + +non tutte le matrici non nulle sono invertibili + +matrici non quadrate non sono invertibili + +data A voglio trovare B tale che $A\cdot B=I$. + +$\begin{aligned} + &B=(b_1|b_2|...|b_n)\n + \begin{aligned}A\cdot B=I&\iff A\cdot b_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},A\cdot b_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},...,A\cdot b_n = \begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}\n\iff(A\vdots I)\xrightarrow[\text{gauss-jordan}]{\text{dall'alto e dal basso}}(I\vdots B)\end{aligned}\n + \text{con }B=A^{-1}\text{ matrice inversa} +\end{aligned}$ + +A di tipo $N$x$N$ invertibile $\iff$ $rk(A)=N$ (ossia è massimale) + +\begin{enumerate} + \item $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ + \item $(A^{-1})^{-1}=A$ + \item $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ +\end{enumerate} + +\paragraph{determinanti}$A=\begin{pmatrix} + a_{11}\ a_{12}\ ...\ a_{1n}\\ + a_{21}\ a_{22}\ ...\ a_{2n}\\ + \vdots\quad\ \vdots\ \ \ddots\ \vdots\\ + a_{n1}\ a_{n2}\ ...\ a_{nn} +\end{pmatrix}$ + +il determinante di $A$ è lo scalare $det(A)=|A|=\sum\limits_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)\prod\limits^n_{i=1}i\sigma(i)$\\ $sgn(x)=\begin{cases}+1\quad \text{se $x$ è pari}\\-1\quad\text{se $x$ è dispari}\end{cases}$ + +il determinante per 3x3 (regola di sarrus) $A=\begin{pmatrix}a\ b\ c\\d\ e\ f\\g\ h\ c\end{pmatrix}, det(A)=aei+dhc+bfg-ceg-hfa-dbi$ + +\begin{enumerate} + \item se B si ottiene da A scambiando due righe o colonne, allora $det(B)=-det(A)$ + \item se A ha due righe o colonne uguali, il determinante è zero + \item se A ha una riga o colonna di zeri, il determinante è zero + \item se B si ottiene da A moltiplicando una riga per $k\in\mathbb R$ allora $det(B)=k\cdot det(A)$ + \item se B si ottiene da A sommano ad una riga di A un multiplo di un'altra riga, allora $det(B)=det(A)$ + \item matrice triangolare superiori ($\forall ii, a_{ji}=0$) $det(A)=a_{11}a_{22}...a_{nn}$ +\end{enumerate} + +A $n$x$n$ è invertibile $\iff rk(A)=n\iff det(A)\neq0$ + +\paragraph{regola di laplace} + +$A=M(\mathbb R,N)$ + +indichiamo con $A_{i,j}$ la sottomatrice di A ottenuta cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna, allora fissato $i\in\{1,...,N\}$ si ha $det(A)=\sum\limits^n_{j=1}(-1)^{i+j}a_{ij}det(A_{i,j})$ + +\paragraph{binet} +\begin{enumerate} + \item $det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)$ + \item $det(A^k)=[det(A)]^k$ + \item $det(A^{-1})=\frac 1 {det(A)}$ +\end{enumerate} + +\paragraph{autovettore e autovalore} + +$A\in M(\mathbb K,N\text x N), v\in \mathbb K^N, v\neq 0, \lambda \in \mathbb K, A\cdot v = \lambda v \implies \lambda$ è un autovalore di A e v è un autovettore relativo all'autovalore $\lambda$ + + +\subparagraph{polinomio caratteristico} +$p_A(t)=det(A-tI) \in \mathbb K[t]$ + +gli zeri di $p_A(t)$ in $\mathbb K$ sono gli autovalori di A, e viceversa + +la moleplicità algebrica di un autovalore è la molteplicità dello zero come soluzione del polinomio $p_A(t)$ si indica con $M_A(\lambda)$ + +dato $\lambda$ un autovalore di A definiamo l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda$: \\ $V_\lambda=\left\{ v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}\in\mathbb K^N|Av=\lambda v \right\}$ = $\left\{ v\in\mathbb K^N|Av-\lambda v=0 \right\}$ = $\left\{ v\in\mathbb K^N|(A-\lambda I) v=0 \right\}$ + +la molteplicità geometrica dell'autovalore $\lambda$ è la dimensione di $V_\lambda$. si indica con $M_G(\lambda)=dim(V_\lambda)$, $dim(V_\lambda)\geq 1) \forall\lambda$ autovalore + +\paragraph{diagonalizzazione} +le matrici + semplici sono quelle diagonali $\begin{pmatrix} + 1\ 0\ 0\ 0\\ + 0\ 2\ 0\ 0\\ + 0\ 0\ 3\ 0\\ + 0\ 0\ 0\ 4 +\end{pmatrix}$ + +non tutte le matrici sono diagonali, però in realtà la magior parte sono diagonalizzabili, cioè ammettono una forma diagonale + +due matrici $A,B\in M(\mathbb K,N\text xN)$ sono simili se esiste C matrice invertibile tale che $B=C^{-1}\cdot A\cdot C$ + +una matrice è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale + +se A è diagonalizzabile la sua forma diagonale è composta dagli autovalori di A e inoltre la matrice diagonalizzante C è composta da una base di autovettori + +A diagonalizzabile $\iff \forall \lambda \text{ autovalore}, M_A(\lambda) = M_G(\lambda)$ + +\section{sistemi di equazioni lienari} con grado max 1 + +equazioni lineare omogenea: $\left[\begin{aligned} + a_1x_1+...+a_nx_n&=0\\ + 3x_1-x_2+5x_3&=0 +\end{aligned}\right)$ + +equazione lineare non omogenea:$\left.\begin{aligned} + a_1x_1+...+a_nx_n&=b_1\\ + 3x_1-x_2+5x_3&=7 +\end{aligned}\right)$ + +sistema di equazioni lineari$\begin{matrix} + a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n = b_1\\ + a_{21}x_1+...+a_{2n}x_n = b_2\\ + \vdots\\ + a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n = b_m +\end{matrix}$ + +sistema di m equazioni in n incognite, gli $a_{i,j}$ sono coefficienti, $(b_1...b_m)$ vettore dei termini noti. se $b_1=...=b_m=0$ il sistema è omogeneo + +una soluzione del sistema è una qualche $(x_1,...,x_n)$ che risolve tutte le equazioni + +cosa centrano le matrici? +$\begin{matrix} + a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n = b_1\\ + a_{21}x_1+...+a_{2n}x_n = b_2\\ + \vdots\\ + a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n = b_m +\end{matrix}, \begin{matrix} +(a_{11},...,a_{1n})\begin{pmatrix} + x_1\\ + \vdots\\ + x_n +\end{pmatrix}\\ +(a_{21},...,a_{2n})\begin{pmatrix} + x_1\\ + \vdots\\ + x_n +\end{pmatrix}\\ +\vdots\\ +(a_{m1},...,a_{mn})\begin{pmatrix} + x_1\\ + \vdots\\ + x_n +\end{pmatrix} +\end{matrix}$,\\ $\begin{aligned} \begin{pmatrix} + a_{11}...a_{1n}\\ + \vdots\ \ddots\ \vdots\\ + a_{m1}...a_{mn} + \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} + x_1\\ + \vdots\\ + x_n +\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} + a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n\\ + \vdots\\ + a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n +\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} + b_1\\ + \vdots\\ + b_n +\end{pmatrix}\leftarrow \text{(vettore dei termini noti)}\n\ \ \uparrow\n\ \ \text{vettore indeterminate}\end{aligned}$\\ +$[A|b]\leftarrow \text{queste sono quelle da manipolare}$ + +\paragraph{processo do gauss-jordan:} ridurre il sistema ad un sistema a gradini equivalente + +$\begin{cases} + a'_{11}x_1+a'_{12}x_2+.........+a'_{1n}x_n=b'_1\\ + \kern 36pt a'_{22}x_2+.........+a'_{2n}x_n=b'_2\\ + \kern 43pt \ddots\kern 80pt \vdots\\ + \kern 46pt a'_{mm}x_m+...+a'_{mn}x_n=b'_m +\end{cases}$ + +sono sistemi equivalenti, cioè hanno le stesse soluzioni. il sistema a gradini è facile da risolvere, perché si risolve per sostituzione a partire dall'ultima equazione. + +si ottengono sistemi equivalenti se opero con le seguenti operazioni, dette elementari: +\begin{enumerate} + \item scambiare di posto due equazioni + \item moltiplicare una equazione per uno scalare non nullo + \item sostituire una equazione con la soma di se stessa e un multipo scalare di un'alatra equazione +\end{enumerate} + +il rango di una matrica $A$ è il numero di pivot nella sua forma a gradini, si indica con $rg(A)$ oppure con $rk(A)$ + +un sistema lineare è compatibile $\iff rg(A\vdots b)=rg(A)$, in tal caso, il sistema possiede $\infty^{n-r}$ soluzioni dove n è il numero di incognite, $r=rg(A)$ + +\section{algebra lineare} + +spazio vettoriale (ancora un'altra struttura algebrica) + +uno spazio vettoriale V su un campo $\mathbb K$ è un insieme V con due operazioni: +\begin{align*} + &+:V\text x V \rightarrow V\ (v,w)\rightarrow v+w\n + \cdot:\mathbb K \text xV\rightarrow V\ (c,v)\rightarrow c\cdot V +\end{align*} + +\begin{enumerate} + \item (V,+) è un gruppo abeliano, in pratica: esiste un elemento neutro, si indica con 0 e detto vettore nullo e esiste anche elemento inverso di W detto -W: $W+(-W)=0$ + \item $\forall c\in\mathbb K,\forall W,U\in V, c(W+U)=cW+cU$ + \item $\forall c_1,c_2\in\mathbb K, \forall W\in V,(c_1+c_2)W=c_1W+c_2W$ + \item $\forall c_1,c_2\in\mathbb K, \forall W\in V,(c_1c_2)W=c_1(c_2W)$ + \item $\forall W\in V, 1\cdot W = W$ + \item il vettore nullo 0 è unico + \item $\forall W\in V, 0\cdot W=0$ + \item $\forall k\in\mathbb K, k\cdot0=0$ +\end{enumerate} + +un sottoinsieme non vuoto $W$ di uno spazio vettoriale V sul campo $\mathbb K$ è detto sottospazio vettoriale di V se: +\begin{enumerate} + \item W è chiuso rispetto alla somma: $\forall w_1,w_2\in W \implies w_1+w_2\in W$ + \item W è chiuso rispetto alla moltiplicazione per uno scalare: $\forall c\in\mathbb K, w\in W \implies c\cdot w\in W$ +\end{enumerate} + +un vettore $v\in V$ è una combinazione lineare dei vettori $v_1, v_2,...,v_m\in V$ se $c_1v_1+c_2v_2+...+c_mv_m = v$ dove $c_1...c_m$ sono scalari + +diciamo che i vettori $v_1...v_m\in V$ generano V se ogni vettore $v\in V$ è una combinazione lineare di $v_1...v_m$, si scrive $V=$ + +dipendenza lineare, $v_1...v_m\in V$ sono vettori linearmente dipendenti se esistono scalari $c_1...c_m\in\mathbb R$ non tutti nulli tali che $c_1v_1...c_mv_m=0$. altrimenti si dicono linermente indipendenti + +un vettore singolo $v\in V$ è linearmente indipendente $\iff v\neq 0$ + +una base di V è un insieme di vettori $\{v_1...v_n\}$ che genera V e sono linearmente indipendenti + +\paragraph{equicardinalità delle basi} le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi. questo numero è detto dimensione di V, si indica con $dim(V)$ + +se $dim(V)=N$ +\begin{enumerate} + \item N vettori che generano V sono anche linearmente indipendenti + \item N vettori lin. indip. di V allora generano V +\end{enumerate} + +N vettori $v_1...v_n \in R^N$ formano una base $\iff rk(v_1,v_2...v_n)=N \iff det(v_1,v_2...v_n)\neq0$ + +\paragraph{estrazione di una base} +dati vettori di V che generano esiste un loro sottoinsieme formante una base di V (basta rimuovere i vettori dipendenti) + +\paragraph{complemento ad una base} dati vettori di V linearmente indipendenti, possiamo aggiungere altri vettori in modo da ottenere una basei di V + +\paragraph{sottospazi} un sottoinsieme non vuoto W di uno spazio vettorieale V è detto sottospazio se: +\begin{enumerate} + \item W è chiuso rispetto alla somma ($\forall w_1,w_2\in W \implies w_1+w_2\in W$) + \item W è chiuso rispetto alla moltiplicazione per uno scalare ($\forall w\in W,\forall c\in\mathbb R \implies c\cdot w\in W$) +\end{enumerate} + +se $W\subseteq V$ sottospazio, allora $dim(W)\leq dim(V)$, inoltre se $dim(W)=dim(V)$ allora $W=V$ + +\paragraph{sottospazi generati da vettori} dati $v_1,v_2,...,v_m\in V$ lo spazio generato da questi vettori è definito come $=\{c_1v_1+c_2v_2+...+c_mb_m, c_1...c_m \text{ variano in } \mathbb R\}$ + +$\subseteq V$ è un sottospazio (la somma di combinazioni lineari è di nuovo una combinazione lineare) + +\paragraph{sottospazio somma e intersezione} +\subparagraph{somma di sottospazio} \ + +siano $S\subseteq V$ e $T\subseteq V$ due sottospazi di V. $dim(S)=M, dim(T)=N$, definiamo $S+T=\{v+w|v\in S,w\in T\}\subseteq V$ in realtà è un sotospazio. come si trova una base di S+T? si parte da $B_S=\{v_1,...,v_m\}$ base di S e $B_T=\{w_1,...,w_n\}$ base di T allora S+T è generato da $v_1,...,v_m,w_1,...,w_n$ dai quali estraggo una base. + +$dim(S+T)\leq dim(S)+dim(T)$ + +\subparagraph{intersezione}\ + +$S, T$ sottospazi di $V$, $S\cap T=\{v\in V|v\in S, v\in T\} \subseteq V$ è un sottospazio + +\subparagraph{formula di grassman}\ + +$dim(S)+dim(T)=dim(S+T)+dim(S\cap T) \implies dim(S)+dim(T)+dim(S+T)=dim(S\cap T)$ + +$S,T \subseteq V$ sottospazi, se $S+T=V$ e $S\cap T = \{0\}$ si dice che $V=S\oplus T$ è somma diretta di S e T. ogni $v\in V$ si scrive in modo unico come $v=v_1+v_2)$ con $v_1\in S$ e $v_2\in T$ + +\end{document}