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\documentclass{article}
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\usepackage[a4paper, total={6in, 11in}]{geometry}

\author{Dario Spinnato\footnote{\url{https://dario48.site}}}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{mathspec}

\setmathfont{latinmodern-math.otf}
\setmathsfont(Digits){GohuFont 11 Nerd Font}

\def\degree{^{\circ}}
\newcommand{\n}{\\&}
\newcommand{\nn}{\\&\text}
\def\bs{\symbol{92}}

\def\o{\text o}

\begin{document}
\section{proprietà}
\begin{align*}
	&\text{commutativa (c)} \implies f(a,b) = f(b,a)\\
	&\text{associativa (a)} \implies f(f(a,b),c) = f(a,f(b,c)) = f(a,b,c)
\end{align*}
\section{insiemi}
\begin{align*}
	&s \in S \ \text{appartenenza}\n
	s \notin S \ \text{non appartenenza}\n
	\emptyset \ \text{insieme vuoto}\n
	B \subseteq A \ \text{sottoinsieme}\n
	\forall A \quad \emptyset \subseteq A\n
	A = B \implies A \subseteq B \wedge B \subseteq A\n
	B \subsetneq A \implies B \subseteq A \wedge B \neq A\n
	A \cap B = \{x | x \in A \wedge x \in B\}\n
	\cap = c, a\n
	\forall A \quad A \cap \emptyset = \emptyset\n
	A_1 \cap A_2 ... \cap A_100 = \bigcap\limits_{i = 1}^{100}A_i\n
	A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}\n
	\cup = c,a\n
	A \cup A = A\n
	A\cup\emptyset=A\n
	(A \cap B)\cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)\n
	A\cap(B \cup C) = (A \cap B)\cup(A \cap C)\n
	U = universo\n
	\text{complemento di }A\ A^c = \{x \in U | x\notin A \}\n
	(A \cap B)^C = A^C \cup B^C\n
	(A \cup B)^C = A^C \cap B^C\n
	B\bs A = \{x \in B | x\notin A\}\n
	P(A) = \{B|B\subseteq A\}\n
	A\text xB = \{(a,b) | a\in A, b\in B\}\n
	A_1 \text x A_2 \text x ... \text x A_n = \left\{(a_1, a_2,...,a_n) | a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, ..., a_n \in A_n\right\}\n
	\mathbb N\text x \mathbb N\text x \mathbb N = \mathbb N^3\n
	\text x = a\n
\end{align*}
\begin{align*}
	&\emptyset\text x A = \emptyset\n
	(A_1 \cap A_2)\text x B = (A_1 \text x B) \cap (A_2 \text x B)\n
	(A_1 \cup A_2)\text x B = (A_1 \text x B) \cup (A_2 \text x B)\n
\end{align*}
\section{relazioni}
\begin{align*}
	&A\text p B \subseteq A \text x B \n
	a\text p b = (a,b) \subseteq \text p\n
	B=A \implies \text{relazione definita su }A\n
	\text {p è una relazione di equivalenza se definita su $A$ e}\n
	\quad 1)\forall a \in A \quad a\text p a\n
	\quad 2)a \text p b \implies b \text p a\n
	\quad 3)a\text p b \wedge b\text p c \implies a\text p c\n
	\text{se p è una relazione di equivalenza $a$p$b$ si dice $a$ è equivalente a $b$}\n
	\text{sia p una relazione di equivalenza su $A$,}\n\quad
		\text{la classe di equivalenza modulo p di un $a\in A$ è l'insieme } [a] = \{b\in A | b\text p a\}\n
	[a] = [b] \iff a\text p b\n
	[a] \neq [b] \implies [a] \cap [b] = \emptyset\n
	\text {p è una relazione di ordine(parziale) su A se}\n
	\quad 1)\forall a \in A \quad a\text p a\n
	\quad 2)a \text p b \wedge b \text p a \implies a=b\n
	\quad 3)a\text p b \wedge b\text p c \implies a\text p c\n
	\text{parziale significa che non tutti gli elementi sono confrontabili,}\n\quad\text{se ogni 2 elementi sono confrontabili allora è di ordine totale}\n
\end{align*}
\section{massimo,minimo,massimale,minimale}
in generale una relazione di ordine si indica con $\leq$

sia $\leq$ una relazione di ordine su un insieme A. un elemento $a\in A$ è detto
\begin{enumerate}
	\item massimo: se è confrontabile con ogni elemento di A e risulta che $y\leq a\quad \forall y\in A$
	\item massimo: se è confrontabile con ogni elemento di A e risulta che $a\leq y\quad \forall y\in A$
	\item massimale: $\forall y \in A \wedge y \neq a \nexists a \leq y$
	\item minimale: $\forall y \in A \wedge y \neq a \nexists y \leq a$
\end{enumerate}
\section{funzioni}
la relazione p è detta funzione e si indica di solito con f se $\forall x \in A, \exists!y\in B,(x,y)\in f$\\
$f(x)=y, x \in A, y \in B, f: A \to B$ A è dominio B è codominio

immagine di f: $Im(f) = \{y\in B|\exists x \in A,f(x)=y \}$

controimmagine di f: $f^{-1}(y)=\{x\in A|f(x)=y\}$

una funzione $f: A \to B$ è detta iniettiva se $\forall x_1,x_2 \in A,x_1\neq x_2,f(x_1)\neq f(x_2)$

una funzione $f: A \to B$ è detta suriettiva se $\forall y \in B,\exists x \in A,f(x)=y$

biettiva = iniettiva $\wedge$ suriettiva

quando $f: A \to B$ è biettiva si può costruire la funzione inversa $g: B \to A$


\begin{align*}
	&(g\text{ o }f)(x) = x \quad \forall x \in A\n
	(f\text{ o }g)(y) = y \quad \forall y \in B\n
\end{align*}


siano $f: A\to B$ e $g: B\to C$ definiamo la funzione composizione $(g$ o $f): A \to C$\\ come $(g$ o $f)(x) = g(f(x))$

composizione = not c, a

insieme ordinato = esiste una relazione di ordine totale

campo = ha due operazioni dove ogno elemento ha un opposto e ogni elemento non nullo è invertibile rispetto alla moltiplicazione

\section{equazioni}
di primo grado = lineare

fratte = la x è in qualche frazione, si risolvono con mcm

disequazioni = soluzioni poi parabola

disequazioni fratte = il prodotto/quoziente è positivo se e solo se entrambi sono positivi o negativi (risolvi N e D e poi tabella li strana)

\section{sistemi}
\begin{equation}
	\begin{cases}
		equazione_1\\
		equazione_2\\
		\vdots\\
		\vdots\\
	\end{cases}
\end{equation}
verificato quando tutte vere, roba con rigette

\section{radice quadrata}
$\forall x \in \mathbb R,x \geq 0. y\geq0,\exists!y, y^2 = x $

\begin{align*}
	&\sqrt{f(x)} = g(x)\n
	\updownarrow\n
	\begin{cases}
		f(x) \geq 0\\
		g(x) \geq 0\\
		f(x)=g^2(x)
	\end{cases}\n
	(\text{campo di esistenza})\n
\end{align*}

\begin{align*}
	&\sqrt[3]{f(x)} = g(x)\n
	\updownarrow\n
		f(x)=g^3(x)
\end{align*}

\begin{align*}
	&\sqrt{f(x)} \geq  g(x)\n
	\updownarrow\n
	\begin{cases}
		f(x) \geq 0\\
		g(x) \geq 0\\
		f(x)\geq g^2(x)
	\end{cases} \bigcup
	\begin{cases}
		f(x)\geq0\\
		g(x)<0
	\end{cases}
	\n
	(\text{campo di esistenza})\n
\end{align*}

\begin{align*}
	&\sqrt{f(x)} >  g(x)\n
	\updownarrow\n
	\begin{cases}
		f(x) \geq 0\\
		g(x) \geq 0\\
		f(x)> g^2(x)
	\end{cases} \bigcup
	\begin{cases}
		f(x)\geq0\\
		g(x)<0
	\end{cases}
	\n
	(\text{campo di esistenza})\n
\end{align*}

\begin{align*}
	&\sqrt{f(x)} \leq  g(x)\n
	\updownarrow\n
	\begin{cases}
		f(x) \geq 0\\
		g(x) \geq 0\\
		f(x)\leq g^2(x)
	\end{cases}\n
	(\text{campo di esistenza})\n
\end{align*}

\begin{align*}
	&\sqrt{f(x)} <  g(x)\n
	\updownarrow\n
	\begin{cases}
		f(x) \geq 0\\
		g(x) \geq 0\\
		f(x) < g^2(x)
	\end{cases}\n
	(\text{campo di esistenza})\n
\end{align*}

\begin{align*}
	&\sqrt[3]{f(x)} \geq  g(x)\n
	\updownarrow\n
		f(x)\geq g^3(x)
\end{align*}
\begin{align*}
	&\sqrt[3]{f(x)} \leq  g(x)\n
	\updownarrow\n
		f(x)\leq g^3(x)
\end{align*}
\begin{align*}
	&\sqrt[3]{f(x)} > g(x)\n
	\updownarrow\n
		f(x)>g^3(x)
\end{align*}
\begin{align*}
	&\sqrt[3]{f(x)} < g(x)\n
	\updownarrow\n
		f(x)<g^3(x)
\end{align*}


\section{logaritmo}
$\forall a,a>0,a\neq1,y>0,\exists!x,a^x=y$\quad $x=\log_a y$

$\ $\\
e = numero di nepero, reale ma non razionale, $\log_e = \ln$

$\ $\\
$a^{\log_a x} = x, x>0$\\
$log_a {a^x} = x, \forall x\in\mathbb R$

\begin{enumerate}
	\item $\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$
	\item $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$
	\item $\log_a(x^b) = b\log_a(x), b\in \mathbb R $
	\item $\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$
\end{enumerate}

$\ $\\
$|f(x)| = |g(x)| \leftrightarrow f(x)=g(x) \vee f(x) = -g(x) $

\paragraph \ 

\begin{align*}
	&|f(x)| =  g(x)\n
	\updownarrow\n
	\begin{cases}
		f(x) \geq 0\\
		f(x)= g(x)
	\end{cases} \bigcup
	\begin{cases}
		f(x)\geq0\\
		-f(x)=g(x)
	\end{cases}
	\n
	(\text{campo di esistenza})\n
\end{align*}

notazione: $a|b \Leftrightarrow \exists c,b=c\cdot a$

$a,b\in\mathbb Z, a,b\neq 0,\exists MCD(a,b)=d,d=ax+by\leftarrow$ identit\`a di bezout

teorema fondamentale dell'aritmetica:
\begin{align*}
	&\begin{cases}
	\forall n\in\mathbb N, n\neq0,1\exists P=\{(p_0, m_0), (p_1,m_1)...(p_n, m_n)\},\prod\limits_{(p, m)\in P}p^m=n\\
	\forall z\in\mathbb Z, z\neq-1,0,1\exists  P=\{(p_0, m_0), (p_1,m_1)...(p_n, m_n)\},\prod\limits_{(p, m)\in P}p^m=z
	\end{cases} \implies\n
	\implies D = \{x^n| \}
\end{align*}


(usando la definizione delle coppie di Kuratowski)
\begin{align*}
	&p=(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\} \implies
	\begin{cases}
		\bigcap p = \bigcap \{\{x\},\{x,y\}\}=\{x\}\cap \{x,y\} = \{x\}\\
		\bigcup p = \bigcup \{\{x\},\{x,y\}\}=\{x\}\cup \{x,y\} = \{x,y\}
	\end{cases} \implies \n
	\implies
	\begin{cases}
		\pi_1(p) = \bigcup \bigcap p = \bigcup \{x\} = x\\
		\pi_2(p) = \bigcup\left\{\left. a \in \bigcup p\,\right|\,\bigcup p \neq \bigcap p \rightarrow a \notin \bigcap p \right\} =
	\end{cases}\n
	\kern 58pt = \bigcup\left\{\left. a \in \{x,y\}\,\right|\,\{x,y\} \neq \{x\} \rightarrow a \notin \{x\} \right\} = \bigcup \{y\} = y
\end{align*}

\begin{math}
	\begin{cases}
		MCD(a,b) = \prod \{x^n|x=\pi_1(P_1)\wedge x=\pi_1(P_2),n=\min\{\pi_2(P_1),\pi_2(P_2)\}, P_1\subseteq P_a, P_2 \subseteq P_b\}\\
		MCM(a,b) = \prod \{x^n|x=\pi_1(P_1)\vee x=\pi_1(P_2),\\
		\kern 93pt n=\max\{\pi_2(m)|m\subseteq \{P|P=P_1, x=\pi_1(P_1)\}\cup\\
		\kern 188pt \{P|P=P_2,x=\pi_1(P_1)\}  \}, P_1\subseteq P_a, P_2 \subseteq P_b\}\\
	\end{cases}
\end{math}

$MCD(a,b)\cdot MCM(a,b)=a\cdot b$

\begin{minted}{haskell}
mcd :: Int -> Int -> Int
mcd a b 
  | r1 == 0 = b
  | otherwise = mcd b r1
    where r1 = a `mod` b
\end{minted}

se MCD(a,b) = 1 si dice che a, b sono coprimi tra loro

\paragraph{equazione diofantee}
$5x + 3y = 16$, determinare tutte le soluzioni (x, y) intere dell'equazione

basta risolvere $5u + 3v = 1$, infatti dopo multiplico per 16, 5(16u) + 3(16v) = 16
\begin{math} \left( \begin{cases}
	x = 16 U\\
	y = 16V
\end{cases}\right)
\end{math}

5u+3v è un'identità di bezout, si può realizzare? si, perché (5, 3) = 1
\begin{align*}
	&5=3\cdot1+2, r_1 = 2\n
	3=2\cdot1 + 1, r_2 = 1\n
	2=1\cdot2 + 0, \text {stop}
\end{align*}
$MCD(5,3)=r_2=1$

bezout: 
\begin{align*}
	1&=3-2\cdot1\n
	=3-(5-3\cdot1)\cdot1\n
	=3-5\cdot1+3\cdot1\n
	=3\cdot2-5\cdot1
\end{align*}
$u = -1$\\
$v = 2$

una soluzione di 5x+3y=16 è
\begin{math}
	\begin{cases}
		x=16u=-16\\
		y=16v=32
	\end{cases}
\end{math}

tutte le soluzioni sono $(x-3h, y+5h)$, in quanto $5(x-3h)+3(y+5h)=5x-15+3y+15=5x+3y=16$\\
quindi le soluzioni sono $(x,y)=(-16-3h,32+5h) \forall h \in \mathbb Z $

ax+by=c ha solozioni intere $\iff (a,b)|c$

\paragraph \ 

su $\mathbb Z$ definiamo una relazione $a\text p_n b \iff a\cong b \mod n$\\
le classi di equivalenza sono $[a]_n = \{b\in\mathbb Z|a\text p_n n\}$
l'insieme quoziente è l'insieme delle classi di equivalenza, lo si indica con $\mathbb Z_n = \{[m]_n |\forall m \in \mathbb N, 0 \leq m < n\}$

\paragraph{congruente in $\mathbb Z$}

a è congruente a b modulo n se $n\in\mathbb N, n\geq1, a,b\in\mathbb Z, a \mod n = b \mod n \implies b-a=kn,n|(a-b)$

la relazione di congruenza mod n è una relazione di equivalenza qualsiasi sia $n\in \mathbb N_0$
\begin{align*}
	&\text{riflessiva}:\forall a \in \mathbb Z, a \cong a\mod n (n|(a-a) = n|0)\nn
	{simmetrica}: \forall a,b \in \mathbb Z, a\cong b \mod n \implies b \cong a \mod n (n|(b-a) = n|-(a-b))\nn
	{transitiva}:
	\begin{aligned}
	&\forall a,b,c \in \mathbb Z, a\cong b \mod n \wedge b\cong c \mod n \implies a\cong c \mod n \n
	(n|(b-a) \wedge n(c-b) \implies n|(b-a + c-b) = n|(c-a)
	\end{aligned}
\end{align*}

\paragraph {classi di equivalenza}
quante sono? quante n

$[0]_n,[1]_n,[2]_n,...,[n-1]_n$

$[0]_n = \{a\in\mathbb Z| a\cong 0\mod n\}$

$\forall a,b \in\mathbb Z,[a]_n + [b]_n = [a+b]_n$

$\forall a,b \in\mathbb Z,[a]_n \cdot [b]_n = [a\cdot b]_n$

$[a] \text{ invertibile in } \mathbb Z_n \iff \exists[x], [a]\cdot[x]=[1]\iff[a\cdot x]=[1]\iff ax\cong1 \mod n \iff n|(ax-1) \iff ax-1=kn, k\in\mathbb Z \iff ax-kn=1,k\in\mathbb Z\iff MCD(a,n)=1 $

$\mathbb Z \rightarrow \frac {\mathbb Z} {n\mathbb Z} = \{[m]_n | m\in \mathbb N, 0 \leq m < n\}$

$ax\cong b \mod n,d=(a.n)$ ammette una soluzione $\iff d|b$, in caso $x_0$ è una soluzione, tutte le altre sono $x=x_0 + \frac n d k, k\in\mathbb Z$

siano $n_1,...,n_r\in\mathbb N > 0$\\
siano $b_1,...,b_r\in\mathbb Z$\\
allora
\begin{enumerate}
	\item il sistema \begin{math}
		\begin{cases}
			x\cong b_1 \mod n_1\\
			\vdots\\
			x\cong b_r \mod n_r
		\end{cases}
	\end{math}
	\item tutte le soluzioni sono della forma $c+kn_1\cdot n_2 \cdot...\cdot n_r$, cioè la soluzione $[c]_{n_1\cdot...\cdot n_r}$
\end{enumerate}

algoritmo: risolvo indipendetemente le congruenze, per i=1,...,r
\begin{enumerate}
	\item $N_iy_i=1\mod n_i, N_i=\prod\limits^r_{j=1,j\neq i}n_j$\\
		esempio:\\
		\begin{math}
			\begin{cases}
				x\cong 3\text{mod} 8,b_1=3,n_1=8,N_1y_1=1\text{mod} n_1\Rightarrow 5\cdot 21y_1\cong 1\text{mod}8\Rightarrow y_1\cong \text{tot}_1\text{mod}8\\
				x\cong -1\text{mod} 5,b_2=-1,n_2=5,N_2y_2=1\text{mod} n_2\Rightarrow 8\cdot 21y_2\cong 1\text{mod}5\Rightarrow y_2\cong \text{tot}_2\text{mod}5\\
				x\cong 27\text{mod} 21,b_3=27,n_3=21,N_3y_3=1\text{mod} n_3\Rightarrow 8\cdot 5y_3\cong 1\text{mod}21\Rightarrow y_3\cong \text{tot}_3\text{mod}21
			\end{cases}
		\end{math}

	\item pongo $c=\sum\limits^r_{i=1}b_iy_iN_i$
\end{enumerate}

\paragraph{teorema cinese del resto generalizzato}
il sistema \begin{math}
	\begin{cases}
		x=b_1\mod n_1\\
		\vdots\\
		x=b_r\mod n_r
	\end{cases}
\end{math} ha soluzione $\iff \forall i,j \leq r, MCD(n_1,n_j)|(b_1-b_j)$, una soluzione $c$ e le altre nella forma $c+kMCM(n_1,...,n_r)$

\paragraph{funzione di eulero} se A è un insieme finito, il simbolo $\#A$ indica il numeri di elementi di A

$\forall n\in\mathbb N, n \geq 1, \phi(n) = \#\{ a\in\mathbb Z|0<a<n, (a,n)=1 \}=\#\{\text{classi invertibili di }\mathbb Z_n\}$

$\forall n\in\mathbb N, n \geq 1, n \text{ primo}, (a,n) = 1 \implies a^{\phi(n)}\cong1\mod n$

\begin{minted}{haskell}

eulero:: Int -> Int
eulero n
  | isPrimo n = n-1
  | isPrimo (h `sqrt` p) = (p `pow` h) - (p `pow` (h-1))
  | otherwise = map eulero $ toFattoriPrimi n
  where h >= 1

\end{minted}

\paragraph{piccolo teorema di fermat} \ \\
$a \in \mathbb Z, p>0, p\text{ primo}\implies a^p\cong a \mod p$\\
$(a,p)=1\implies a^{p-1}\cong 1 \mod p$

\section{basi}
$\forall n\geq 2,\forall a \in \mathbb N, a\geq 0, \exists!A_n=\{B\in \mathbb R^2 | \#B < \infty, \prod\limits_{r = \pi_1(p), n = \pi_2(p), p\subseteq B}rn^h=a \}$

\begin{minted}{haskell}
basechange :: Int -> Int -> [Int]
basechange a n = _basechange a n n
_basechange :: Int -> Int -> Int -> [Int]
_basechange a n e
  | e == 0 = [a `mod` n]
  | otherwise = a `mod` n : _basechange (a `div` n) n (e - 1)
\end{minted}

\section{trigonometria}
	\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}
			[
			title=circonferenza raggio 1,
			xlabel={$x$}, 
			ylabel={$y$}, 
			unit vector ratio=1 1,
			grid, 
			xmin=-2, 
			xmax=2, 
			ymin=-2, 
			ymax=2,
			xtick={-2,...,2},
			ytick={-2,...,2}
			]
			\draw(axis cs:0,0) circle[blue, radius=1];
			\draw[darkgray] (0,0) |- (0.86,0.5) |- cycle;
			\addplot[color=black, mark=square, draw=none] coordinates {(0,0.5)} node[left]{$\sin x$};
			\addplot[color=black, mark=square, draw=none] coordinates {(0.86,0)} node[below left]{$\cos x$};
		\addplot[color=black, mark=square, draw=none] coordinates {(0.86,0.5)}	 node[above right]{P$=(\cos x,$ } node [right] {$\qquad \sin x)$} ;
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}

	$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
	periodiche in periodo 2$\pi$
	\begin{align*}
		&\sin(x + 2\pi) = \sin x\n
		\cos (x+2\pi) = \cos x
	\end{align*}
	$\sin -x = -\sin x$\\
	$\cos -x = \cos x$
	\begin{align*}
		&\sin (\pi - x) = \sin x\n
		\cos (\pi - x) = -\cos x\n
		\sin (\pi + x) = -\sin x\n
		\cos (\pi + x) = -\cos x\n
		\sin (2x) = 2\sin x \cos x\n
		\cos (2x) = \cos^2 x - \sin^2 x\n
		\sin \left( \frac x 2 \right) = \pm \sqrt {\frac {1-\cos x}2 }\n
		\cos \left(\frac x 2 \right) = \pm \sqrt{ \frac {1+\cos x} 2 }
	\end{align*}

	$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$\\
	$\tan \frac \pi 4 = 1, \tan \frac \pi 6 = \frac {\sqrt 3} 3, \tan \frac \pi 3 = \sqrt 3$\\
	periodica di periodo $\pi$
	\begin{align*}
		&\tan(x + \pi) = \tan x
	\end{align*}

	$\cot = \text{cotan} = \frac {\cos x}{\sin x}$

	$180\degree = \pi$

	\begin{align*}
		&\sin 0 = 0, \cos 0 = 1, \tan 0 = 0\n
		\sin \frac \pi 2 = 1, \cos \frac \pi 2 = 0,\tan \frac \pi 2 = \emptyset \n
		\sin \pi = 0, \cos \pi = -1, \tan \pi = 0\n
		\sin \frac{3\pi}2 = -1, \cos \frac{3\pi}2 = 0, \tan \frac {3\pi} 2 = \emptyset
	\end{align*}

	\begin{align*}
		&\cos (x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\n
		\cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\n
		\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\n
		\sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y
	\end{align*}

	\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}
			[
			title=funzioni trigonometriche,
			xlabel={$x$}, 
			ylabel={$y$}, 
			unit vector ratio=1 1,
			grid, 
			xmin=-2*pi, 
			xmax=2*pi, 
			ymin=-2, 
			ymax=4,
			xtick={-2*pi, (-3/2) * pi,-pi,- pi/2,0, pi/2,pi, (3/2) * pi,2*pi},
			ytick={-1,...,1},
			restrict y to domain=-10:10
			]
			\addplot[color=red, no marks, smooth, domain=-2*pi:2*pi] {sin(deg(x))};
			\addlegendentry{$\sin x$}
			\addplot[color=blue, no marks, smooth, domain=-2*pi:2*pi] {cos(deg(x))};
			\addlegendentry{$\cos x$}
			\addplot[color=violet, no marks, smooth, domain=-2*pi:2*pi, samples=100] {tan(deg(x))};
			\addlegendentry{$\tan x$}
			\addplot[color=purple, no marks, smooth, domain=-2*pi:2*pi, samples=100] {cot(deg(x))};
			\addlegendentry{$\cot x$}
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}

	DISEQUAZIONI:

	\begin{align*}
		&\cos x > \frac {\sqrt 2} 2\n
		2k\pi - \frac \pi 4 < x < \frac \pi 4 + 2k\pi
	\end{align*}

\section {triangoli rettangoli}

	\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}
			[
			title=triangolo retangolo,
			unit vector ratio=1 1,
			xmin=-2, 
			xmax=3, 
			ymin=-2, 
			ymax=0,
			axis lines = none,
			]
			\draw (-1,-1) -- node[below]{$a = c \cdot \cos \alpha$} (1, -1) -- node[right]{$b = c \cdot \sin \alpha$} (1, 0)  -- node[above left]{$c$} cycle;
			\draw(axis cs:-0.5,-1) arc[radius=0.5, start angle=0, end angle=27] node[below right]{$\alpha$};
			\draw (1, -1) -| (0.75, -0.75) -| cycle;
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}

\section{immaginari}
Re(x) = parte reale
Im(y) = parte immaginaria

se $z = x+i y$ il coniugato è $\overline z = x-i y$

due complessi sono uguali se hanno stesso modulo e stesso argomento a meno di multipli di $2\pi$
\begin{math}
	\begin{cases}
		x_1 = x_2\\
		y_1 = y_2 + 2k\pi
	\end{cases}
\end{math}

operazioni sui complessi:
\begin{align*}
	&\text{somma } (x+iy) + (x'+iy')= x+x' + i(y+y')\n
	\text{prodotto } (x+iy) \cdot (x'+iy') = xx' + ixy' + iyx' + i^2yy' = xx' - yy' + i (xy' + yx')
\end{align*}

modulo di $z=x+iy$ è $|z|=\sqrt{x^2 + y^2}$

$|z|^2 = z \overline z $


\begin{align*}
	&\overline{z_1 + z_2} = \overline z_1 + \overline z_2\n
	\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline z_1 \cdot \overline z_2\n
	\overline {\left(\frac{1}{z}\right)} = \frac{1}{\overline {z}}\n
	\overline {\overline z} = z
\end{align*}
\begin{align*}
	&|z| \geq 0\n
	z=0 \iff |z|=0\n
	|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\n
	|z| = |\overline z|\n
	|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\n
\end{align*}

\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}
		[
		title=forma trigonometrica,
		unit vector ratio=1 1,
		xmin=-1, 
		xmax=3, 
		ymin=-1, 
		ymax=2,
		axis lines = center,
		ticks = none,
		]
		\draw (0,0) -- node[below]{$x$} (2, 0) -- node[right]{$y$} (2, 1) node[above right]{$z=x+iy$}  -- node[above left]{p} cycle;
		\draw [dotted] (0, 1) -- (2, 1);
		\draw [red] (0, 1) -- node[left]{$y$} (0, 0);
		\draw(axis cs:0.5,0) arc[radius=0.5, start angle=0, end angle=27] node[right]{$\phi$};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

p = $|z|$

$\phi$ = angolo formato dal segmento e asse x

\begin{math}
\begin{cases}
	\cos \phi = \frac x{\text p}\\
	\sin \phi = \frac y {\text p}
\end{cases}
\end{math}

$z=x+iy=\text p \cos \phi + i(\text p \sin \phi) = \text p (\cos \phi + i \sin \phi)$

p = modulo di $z$

$\phi$ = argomento di $z$

altra formula per $\phi$

$\phi =$
\begin{math}
	\begin{cases}
		\arctan \frac y x \qquad \text{se $x>0$ e $y$ qualsiasi}\\
		\arctan \frac y x + \pi \qquad \text{se $x<0$ e $y\geq 0$}\\
		\arctan \frac y x + \pi \qquad \text{se $x<0$ e $y< 0$}\\
		\frac \pi 2 \qquad \text{se $x=0$ e $y>0$}\\
		-\frac \pi 2 \qquad \text{se $x=0$ e $y<0$}\\
	\end{cases}
	, \phi \in (-\pi,\pi]
\end{math}


DE MOIVRE
\begin{align*}
	&z_1 = \text p_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1)\n
	z_2 = \text p_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)\n
	z_1\cdot z_2 = \text p_1 \text p_2 (\cos\phi_1i\sin\phi_1)(\cos\phi_2i\sin\phi_2)=\n
	=\text p_1 \text p_2(\cos\phi_1\cos\phi_2+i\cos\phi_1\sin\phi_2+i\sin\phi_1\cos\phi_2+i^2\sin\phi_1\sin\phi_2)\n
	=\text p_1 \text p_2(\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2+i(\cos\phi_1\sin\phi_2+\sin\phi_1\cos\phi_2))\n
	=\text p_1 \text p_2(\cos(\phi_1+\phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2))
\end{align*}
generalizzando
\begin{align*}
	&z_1\cdot z_2 \cdot ... \cdot z_n = \text p_1 \text p_2 .. \text p_n (\cos(\phi_1 + \phi_2 + ... + \phi_n) + i\sin(\phi_1 + \phi_2 + ... + \phi_n))\n
	z^n=\text p^n(\cos(n\cdot\phi)+i\sin(n\cdot\phi))
\end{align*}

DE MOIVRE per i quozienti

\begin{align*}
	&z_1 = \text p_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1)\n
	z_2 = \text p_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)\n
	\frac {z_1} {z_2} = \frac {\text p_1}{\text p_2}(\cos(\phi_1-\phi_2)+i\sin(\phi_1-\phi_2))
\end{align*}

radici n-esime

$\sqrt[n]w=z, z^n=w$

sia $w=r(\cos\phi+i\sin\phi) \neq 0$

w ammette esattamente n radici n-esime

queste sono
\begin{align*}
	&k = \{x|x \geq 0\wedge x<n/x\in \mathbb N \}\n
	z_k = r^{\frac 1 n}(\cos\phi_k + i\sin\phi_k)\n
	\phi_k=\frac{\phi+2k\pi}n
\end{align*}

$\mathbb C$ è algebricamente chiuso, ogni equazione polinomiale in $\mathbb C$: $a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0=0\qquad a_0,a_1,...,a_n \in \mathbb C$

ha esattamente $n$ radici (=soluzioni) contate con molteplicità

$\mathbb R$ non è algebricamente chuso, infatti $x^2+1=0$ non ha soluzioni in $\mathbb R$

MOLTIPLICAZIONE PER i

$z = \text p (\cos\phi+i\sin\phi)$

vogliamo capire modulo e argomento di $iz$

$|iz|=|i|\cdot|z|=1\cdot \text p = \text p$

argomenti di $iz$

\begin{align*}
	iz &= \text pi(\cos\phi+i\sin\phi)=\n
	=\text p(i\cos\phi+i^2\sin\phi)=\n
	=\text p(-\sin\phi+i\cos\phi)=\n
	=\text p\left(\cos\left(\phi+\frac \pi 2\right)+i\sin\left(\phi+\frac \pi 2\right)\right) 
\end{align*}
\begin{align*}
	(\text{dato che }&\cos\left(\phi\frac \pi 2\right) = -\sin \phi\n
	\sin\left(\phi\frac \pi 2\right) = \cos \phi)
\end{align*}

l'argomento di $iz$ è $\phi+\frac \pi 2$

\section{relazione di equivalenza}

relazioni binarie
\begin{align*}
	&x = \{a,b,c,d\}\n
	x = \mathbb N\n
	x = \mathbb C\n
	R\in x^2 = \{(x,y)|x,y\in X\}\n
	R = \{(a,a)\}|\{(b,c),(a,c)\}...
\end{align*}

relazione di eguaglianza
\begin{align*}
		&1. \text{riflessive} \quad \forall x \in X,(x,x)\in R | R(x,x) | xRx\n
		2. \text{simmetriche} \quad \forall x,y \in X, (x,y)\in R \implies (y,x) \in R\n
		3. \text{transitiva} \quad \forall x,y,z \in X, (x,y)\in R \wedge (y,z) \in R \implies (x,z)\in R
\end{align*}

principio di induzione ($\text I^a$ forma) $n_0 \in \mathbb N,P(n_0) \implies \forall n \geq n_0, n \in \mathbb N,P(n+1)$

principio di induzione ($\text {II}^a$ forma) $n_0,n,k \in \mathbb N,P(n_0) \wedge \forall k, n>k>n_0 \implies P(n+1) \implies \forall n \geq n_0, P(n)$

\section {gruppi}
un gruppo $(G,*)$ è un insieme $G$ dotato di una operazione binaria
\begin{align*}
	*:&G\text xG\rightarrow G\n
	(a,b)\rightarrow a*b
\end{align*}
che verifica le seguenti proprietà
\begin{enumerate}[label=(\emph{\alph*})]
\item * è associativa $\forall a,b,c\in G, (a*b)*c=a*(b*c)$
\item $\exists e\in G$ detto elemento neutro rispetto all'operazione *: $\forall a\in G, e*a=a = a*e=a$
\item $\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G$ detto elemento inverso tale che $a*a^{-1}=e=a^{-1}*a$
\end{enumerate}

se inoltre vale che $\forall a,b\in G, a*b=b*a$, si diche che (G,*) è un gruppo abeliano

$\exists!e\in (G,*),\forall a\in G, a*e=a=e*a$

$\exists!a^{-1}\in (G,*),\forall a \in G, a*a^{-1}=e=a^{-1}*a$

$\forall a,b \in (G,*), (a\cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1}$

$\forall a\in G, \left(a^{-1}\right)^{-1} = a$

\begin{align*}
	&\forall g\in(G, *), \forall i \in\mathbb Z\n
	g^i=
	\begin{cases}
			g*g*g*...*g\\
			e\\
			g^{-1}*g^{-1}*...*g^{-1}
	\end{cases}
	\begin{aligned}
		&i>0\n
		i=0\n
		i<0
	\end{aligned}
\end{align*}

l'ordine $r$ di $g\in G$ è il più piccolo intero positivo $r$ tale che $g^r=e$. È indicato con $o(g)$. Se $\nexists r$ si dice che $g$ ha ordine infinito

un gruppo è detto finito di ordine R se G ha un numero finito di elementi uguale a R

si indica con $|G|$ il numero di elementi di G (che è anche il suo ordine se è finito)

\paragraph{Lagrange} 
$\forall g \in G, |G| < \infty \implies o(g)||G|$

un gruppo G è detto ciclico se $\exists g \in G,\forall a \in G,\exists i\in \mathbb Z, a^i=g,g^0=e \implies G=<g>$

\begin{enumerate}
	\item $|G|=1 \implies G=\{e\}$
	\item $|G|=2, G=\{a,a^2=e\} = <a>$, è un gruppo ciclico\\
		\begin{tabular}{c|c|c}
			* & e & a\\ \hline
			e & e & a\\ \hline
			a & a & e
		\end{tabular}
	\item $|G|=3, G=\{g,g^2,g^3=e\}=<g>$, ciclico\\
		\begin{tabular}{c|c|c|c}
			$*$ & $e$ & $g$ & $g^2$ \\ \hline
			$e$ & $e$ & $g$ & $g^2$ \\ \hline
			$g$ & $g$ & $g^2$ & $e$ \\ \hline
			$g^2$ & $g^2$ & $e$ & $g$ 
		\end{tabular}
	\item $|G|=4$, due strutture distinte di gruppo:
		\begin{enumerate}
			\item il gruppo ciclico: $G=\{g,g^2,g^3,e=g^4\}=<g>$\\
				\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
					$*$  &$e$ &  $g$ & $g^2$ & $g^3$ \\ \hline
					$e$  &$e$ &  $g$ & $g^2$ & $g^3$ \\ \hline
					$g$  &$g$ &  $g^2$&$g^3$ & $e$   \\ \hline
					$g^2$&$g^2$& $g^3$&$e$   & $g$   \\ \hline
					$g^3$&$g^3$& $e$  &$g$   & $g^2$ 
				\end{tabular}
			\item il gruppo di klein: $G=\{e,a,b,c=a*b=b*a\}$\\
				\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
					$*$ & $e$ & $a$ & $b$ & $c$ \\ \hline
					$e$ & $e$ & $a$ & $b$ & $c$ \\ \hline
					$a$ & $a$ & $b$ & $c$ & $e$ \\ \hline
					$b$ & $b$ & $c$ & $e$ & $a$ \\ \hline
					$c$ & $c$ & $e$ & $a$ & $e$ 
				\end{tabular}
		\end{enumerate}
	\item $|G|=5,G=\{g,g^2,g^3,g^4,e=g^5\}=<g>$, ciclico
	\item $|G|=6$ molte strutture
\end{enumerate}

se $|G|=p$ primo allora $G$ è ciclico

se $|G|\leq5$ allora $G$ è abeliano. ci sono gruppi non abeliani a partire da ordine 6

ogni gruppo ciclico è abeliano

\paragraph{gruppi di permutazione}/gruppo simmetrico $S_n$

$\{1,2,3,4,...,n\}=x\rightarrow \{1,2,3,4,...,n\}$

funzioni bigettive

$S_n=\{\text{funzioni bigettive da }\{1,...,n\} \rightarrow \{1,...,n\} \}$

$|S_n|=n!$

operazione: composizione $f\o  g$

$x\xrightarrow gx\xrightarrow fx$

$x-g(x)-f(g(x)):=f\o g(x)$

neutro: $id\o g(x)=g(x)$

inverso: $f\o  f^{-1}=f^{-1}\o f=id$ ($f(x)=y,f^{-1}(y)=x$)

Permutazioni "facili": scambi: 
\begin{math}
	\begin{pmatrix}
		1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
		2 & 1 & 3 & 4 & 5
	\end{pmatrix} : (1\ 2)
\end{math}: stiamo scambando solo 1 con 2

Cicli:
\begin{math}
	\begin{pmatrix}
		1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
		2 & 3 & 1 & 4 & 5
	\end{pmatrix} : (1\ 2\ 3)(4)(5) = (2\ 3\ 1)(5)(4) = (4)(5)(3\ 1\ 2)
\end{math}

$(a\ b)^2 = (a\ b)\o(a\ b)=id$

$\sigma:(a_1...a_n)$

\paragraph {anelli} strutture algebriche con 2 operazioni

un anello $(R,+,\cdot)$ è un insieme R dotato di due operazioni binarie:
\begin{align*}
	+:R\text xR &\rightarrow R\\
	\cdot:R\text xR &\rightarrow R
\end{align*}

tali che
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item + è associativa: $(a+b)+c = a+(b+c)$
		\item esiste l'elemento neutro $0\in R$ rispetto alla +: $\forall a\in R, a+0=a=0+a$
		\item $\forall a \in R,\exists-a\in R$ detto elemento opposto tale che: $a+(-a) = 0 = (-a)+a$
		\item + è commutativa: $\forall a,b\in R,a+b=b+a$
	\end{enumerate}
\item $\cdot$ è associativa: $\forall a,b,c\in R, a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
\item valgono le leggi distributive:
	\begin{align*}
		&a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c\n
		(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c
	\end{align*}
\end{enumerate}

(R, +) è un gruppo abeliano

se vale che $\cdot$ è commutativo si dice che $(R,+,\cdot)$ è commutativo

se vale che esiste l'elemento neutro $1\in R$ rispetto al prodotto, si dice che l'anello è unitario

un campo è un anello commutativo unitario in cui ogni elemento diverso da 0 è invertibile

\paragraph{anello dei polinomi} a coefficienti in $A:A[x]$

sia $A=(A,+,\cdot)$ un anello

$\{0\}\cup\{\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i | n\in\mathbb N,a_i\in A\}$

grado di un polinomio:\[\begin{aligned}
	&\text{grado}(0) = -1\n
	\text{grado}(\sum\limits^n_{i=0}a_1x^i=\max\{i|a_1\neq0\}
\end{aligned}\]

monomio: $a_ix^i$

operazioni: +: è la classica somma termine a termine $\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i+\sum\limits^n_{i=0}b_ix^i=\sum\limits^n_{i=0}(a_i+b_i)x^i$

prodotti: stesso discorso $\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i\cdot \sum\limits^n_{i=0}b_ix^i=\sum\limits^n_{i=0}(a_i\cdot b_i)x^i$

teorema ruffini: se $P(x)\in A[x]$, A campo, $a\in A, P(a)=0$ (a è radice di P(x)) $\iff (x-a)|P(x)$

\paragraph{matrice} fissiamo A anello, una matrice di tipo $(m,n)$, con $m,n \in\mathbb N, m\geq 1 \leq n$ è una tabella $M$ di $m\text xn$ elementi di A

\begin{math}
	\begin{pmatrix}
		r_1\\
		r_1\\
		\vdots\\
		r_m
	\end{pmatrix} =
	\begin{pmatrix}
		c_1 | ... | c_n
	\end{pmatrix}=
	\begin{pmatrix}
		a_{11}\ a_{12}\ ...\ a_{1n}\\
		\vdots\ \vdots\ a_{i,j}\ \ \ \ \ \\
		a_{m1}\ a_{m2}\ ...\ a_{mn}
	\end{pmatrix}
	, a_{ij}, i=\text{riga}, j=\text{colonna}
\end{math}

$M=(a_{i,j})_{i\leq m,j\leq n}$

$a_{i,j}$ sono i coefficienti/entrate di M

$(m,n)$ è la dimensione della matrice, se M è quadrata (cioè $m=n$) si dice anche che è quadrata di dim. $n$ 

$M_{m\text xn}(A)=M_{m,n}(A):=$l'insieme delle matrici di dimensione (m,n) a coefficienti in A

somma: $m_1\neq m_2 \vee n_1 \neq n_2$ non si somma
\[
	m_1 == m_2 \wedge n_1 == n_2,
	\begin{pmatrix}
		a_{11}\ ...\ a_{1n}\\
		\vdots\ \ddots\ \vdots\\
		a_{m1}\ ...\ a_{mn}
	\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
		b_{11}\ ...\ b_{1n}\\
		\vdots\ \ddots\ \vdots\\
		b_{m1}\ ...\ b_{mn}
	\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
		a_{11}+b_{11}\ ...\ a_{1n}+b_{1n}\\
		\vdots\qquad\ddots\qquad\vdots\\
		a_{m1}+b_{m1}\ ...\ a_{mn}+b_{mn}
	\end{pmatrix}
\]

\begin{enumerate}
	\item $A+B=B+A$
	\item $A+(B+C)=(A+B)+C$
	\item elemento neutro \begin{math} 0 = \begin{pmatrix}
		0\ ...\ 0\\
		\vdots\ddots\vdots\\
		0\ ...\ 0
	\end{pmatrix}\end{math}
\item opposto di $A$ è $-A$ = \begin{math}
	\begin{pmatrix}
		-a_{11}...-a_{1n}\\
		\vdots\ddots\vdots\\
		-a_{m1}...-a_{mn}
	\end{pmatrix}
\end{math}
\end{enumerate}

operazione di trasposta: "rifletti" $A=(a_{ij}), A^T=(at_{ji}), a=at$

$\left(A^T\right)^T = A$

l'operazione di transposizione è idempotente

$A\in M_{2\text x3}(\mathbb K),A^T\in M_{3\text x2}(\mathbb K)$

$A\in M_{n\text xm}(\mathbb K),A^T\in M_{m\text xn}(\mathbb K)$

A è simmetrica se $A^T=A$

prodotto esterno: $\forall k \in \mathbb K,\forall A\in M_{n\text xm}(\mathbb K), A=(a_{i,j}),k\cdot A = (ka_{i,j})$

prodotto interno: $v=(a_1...a_n), w=\begin{pmatrix}
	b_1\\
	\vdots\\
	b_n
\end{pmatrix}$, il prodotto vettore $v\cdot w=\sum\limits^n_{i=1}a_ib_i\in\mathbb K$

prodotto tra matrici: $A\in M_{m\text xn}(\mathbb K),A\in M_{n\text xh}(\mathbb K), C\in M_{m\text xh}, c_{i,j}=\sum\limits^n_{r=1}a_{ir}b_{rj} $

\begin{enumerate}
	\item $(A+B)\cdot C = AC+BC$\\
		$A\cdot (C+D) = AC+AD$
	\item $\forall k\in\mathbb K A(kB)=(kA)B=kAB$
	\item $(AB)C=A(BC):=ABC$
	\item elemento neutro nel caso quadrato: $I_n=\begin{pmatrix}
			1\ \ 0\ ...\ 0\\
			0\ddots\ddots\vdots\\
			\vdots\ddots\ddots\vdots\\
			0\ ...\ ...\ 1
		\end{pmatrix}$
	\item $(AB)^T=B^TA^T$
	\item $(A+B)^T=A^T+B^T$
\end{enumerate}

\paragraph{matrici invertibili} $M(\mathbb R,n) = \{\text{matrici quadrate $n$x$n$ a coefficienti in }\mathbb R\}$

$(M(\mathbb R,n),+,\cdot)$ anello non commutativo, è unitario, esiste l'elemento neutro rispetto al prodotto che è la matrice identità $I = \begin{pmatrix}1\qquad0\\\ddots\\0\qquad1\end{pmatrix}\in M(\mathbb R,n),\forall A\in M(\mathbb R), A\cdot I = A = I \cdot A$

una matrice quadrata $N$x$N$ è invertibile se esiste una matrice $A^{-1}$ quadrata $N$x$N$ tale che $A\cdot A^{-1}=I$ e $A^{-1}\cdot A=I$

non tutte le matrici non nulle sono invertibili

matrici non quadrate non sono invertibili

data A voglio trovare B tale che $A\cdot B=I$. 

$\begin{aligned}
	&B=(b_1|b_2|...|b_n)\n
	\begin{aligned}A\cdot B=I&\iff A\cdot b_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},A\cdot b_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},...,A\cdot b_n = \begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}\n\iff(A\vdots I)\xrightarrow[\text{gauss-jordan}]{\text{dall'alto e dal basso}}(I\vdots B)\end{aligned}\n
	\text{con }B=A^{-1}\text{ matrice inversa}
\end{aligned}$

A di tipo $N$x$N$ invertibile $\iff$ $rk(A)=N$ (ossia è massimale)

\begin{enumerate}
	\item $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
	\item $(A^{-1})^{-1}=A$
	\item $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
\end{enumerate}

\paragraph{determinanti}$A=\begin{pmatrix}
	a_{11}\ a_{12}\ ...\ a_{1n}\\
	a_{21}\ a_{22}\ ...\ a_{2n}\\
	\vdots\quad\ \vdots\ \ \ddots\ \vdots\\
	a_{n1}\ a_{n2}\ ...\ a_{nn}
\end{pmatrix}$

il determinante di $A$ è lo scalare $det(A)=|A|=\sum\limits_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)\prod\limits^n_{i=1}i\sigma(i)$\\ $sgn(x)=\begin{cases}+1\quad \text{se $x$ è pari}\\-1\quad\text{se $x$ è dispari}\end{cases}$

il determinante per 3x3 (regola di sarrus) $A=\begin{pmatrix}a\ b\ c\\d\ e\ f\\g\ h\ c\end{pmatrix}, det(A)=aei+dhc+bfg-ceg-hfa-dbi$

\begin{enumerate}
	\item se B si ottiene da A scambiando due righe o colonne, allora $det(B)=-det(A)$
	\item se A ha due righe o colonne uguali, il determinante è zero
	\item se A ha una riga o colonna di zeri, il determinante è zero
	\item se B si ottiene da A moltiplicando una riga per $k\in\mathbb R$ allora $det(B)=k\cdot det(A)$
	\item se B si ottiene da A sommano ad una riga di A un multiplo di un'altra riga, allora $det(B)=det(A)$
	\item matrice triangolare superiori ($\forall i<n,\forall j>i, a_{ji}=0$) $det(A)=a_{11}a_{22}...a_{nn}$
\end{enumerate}

A $n$x$n$ è invertibile $\iff rk(A)=n\iff det(A)\neq0$

\paragraph{regola di laplace}

$A=M(\mathbb R,N)$

indichiamo con $A_{i,j}$ la sottomatrice di A ottenuta cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna, allora fissato $i\in\{1,...,N\}$ si ha $det(A)=\sum\limits^n_{j=1}(-1)^{i+j}a_{ij}det(A_{i,j})$

\paragraph{binet}
\begin{enumerate}
	\item $det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)$
	\item $det(A^k)=[det(A)]^k$
	\item $det(A^{-1})=\frac 1 {det(A)}$
\end{enumerate}

\paragraph{autovettore e autovalore}

$A\in M(\mathbb K,N\text x N), v\in \mathbb K^N, v\neq 0, \lambda \in \mathbb K, A\cdot v = \lambda v \implies \lambda$ è un autovalore di A e v è un autovettore relativo all'autovalore $\lambda$ 


\subparagraph{polinomio caratteristico}
$p_A(t)=det(A-tI) \in \mathbb K[t]$

gli zeri di $p_A(t)$ in $\mathbb K$ sono gli autovalori di A, e viceversa

la moleplicità algebrica di un autovalore è la molteplicità dello zero come soluzione del polinomio $M_A(\lambda)=\max m (x-a)^m|P(x)$

dato $\lambda$ un autovalore di A definiamo l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda$: \\ $V_\lambda=\left\{ v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}\in\mathbb K^N|Av=\lambda v \right\}$ = $\left\{ v\in\mathbb K^N|Av-\lambda v=0 \right\}$ = $\left\{ v\in\mathbb K^N|(A-\lambda I) v=0 \right\}$

la molteplicità geometrica dell'autovalore $\lambda$ è la dimensione di $V_\lambda$. si indica con $M_G(\lambda)=\dim(V_\lambda)$, $\dim(V_\lambda)\geq 1\ \forall\lambda$ autovalore

$1\leq m_g(a)\leq m_a(a)$

$n$ = ordine matrice, $\sum\limits_{a\text{ autovalori}}m_a(a)\neq n \implies$ matrice non diagonalizzabile

\paragraph{diagonalizzazione}
le matrici + semplici sono quelle diagonali $\begin{pmatrix}
	1\ 0\ 0\ 0\\
	0\ 2\ 0\ 0\\
	0\ 0\ 3\ 0\\
	0\ 0\ 0\ 4
\end{pmatrix}$

non tutte le matrici sono diagonali, però in realtà la magior parte sono diagonalizzabili, cioè ammettono una forma diagonale

due matrici $A,B\in M(\mathbb K,N\text xN)$ sono simili se esiste C matrice invertibile tale che $B=C^{-1}\cdot A\cdot C$

una matrice è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale

se A è diagonalizzabile la sua forma diagonale è composta dagli autovalori di A e inoltre la matrice diagonalizzante C è composta da una base di autovettori

$M_A(\lambda)=1 \implies M_A(\lambda) = M_G(\lambda)$

A diagonalizzabile $\iff \forall \lambda \text{ autovalore}, M_A(\lambda) = M_G(\lambda)$

\section{sistemi di equazioni lienari} con grado max 1

equazioni lineare omogenea: $\left[\begin{aligned}
	a_1x_1+...+a_nx_n&=0\\
	3x_1-x_2+5x_3&=0
\end{aligned}\right)$

equazione lineare non omogenea:$\left.\begin{aligned}
		a_1x_1+...+a_nx_n&=b_1\\
		3x_1-x_2+5x_3&=7
\end{aligned}\right)$

sistema di equazioni lineari$\begin{matrix}
	a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n = b_1\\
	a_{21}x_1+...+a_{2n}x_n = b_2\\
	\vdots\\
	a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n = b_m
\end{matrix}$

sistema di m equazioni in n incognite, gli $a_{i,j}$ sono coefficienti, $(b_1...b_m)$ vettore dei termini noti. se $b_1=...=b_m=0$ il sistema è omogeneo

una soluzione del sistema è una qualche $(x_1,...,x_n)$ che risolve tutte le equazioni

cosa centrano le matrici?
$\begin{matrix}
	a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n = b_1\\
	a_{21}x_1+...+a_{2n}x_n = b_2\\
	\vdots\\
	a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n = b_m
\end{matrix}, \begin{matrix}
(a_{11},...,a_{1n})\begin{pmatrix}
	x_1\\
	\vdots\\
	x_n
\end{pmatrix}\\
(a_{21},...,a_{2n})\begin{pmatrix}
	x_1\\
	\vdots\\
	x_n
\end{pmatrix}\\
\vdots\\
(a_{m1},...,a_{mn})\begin{pmatrix}
	x_1\\
	\vdots\\
	x_n
\end{pmatrix}
\end{matrix}$,\\ $\begin{aligned} \begin{pmatrix}
	a_{11}...a_{1n}\\
	\vdots\ \ddots\ \vdots\\
	a_{m1}...a_{mn}
	\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}
	x_1\\
	\vdots\\
	x_n
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
	a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n\\
	\vdots\\
	a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
	b_1\\
	\vdots\\
	b_n
\end{pmatrix}\leftarrow \text{(vettore dei termini noti)}\n\ \ \uparrow\n\ \ \text{vettore indeterminate}\end{aligned}$\\
$[A|b]\leftarrow \text{queste sono quelle da manipolare}$

\paragraph{processo do gauss-jordan:} ridurre il sistema ad un sistema a gradini equivalente

$\begin{cases}
	a'_{11}x_1+a'_{12}x_2+.........+a'_{1n}x_n=b'_1\\
	\kern 36pt a'_{22}x_2+.........+a'_{2n}x_n=b'_2\\
	\kern 43pt \ddots\kern 80pt \vdots\\
	\kern 46pt a'_{mm}x_m+...+a'_{mn}x_n=b'_m
\end{cases}$

sono sistemi equivalenti, cioè hanno le stesse soluzioni. il sistema a gradini è facile da risolvere, perché si risolve per sostituzione a partire dall'ultima equazione.

si ottengono sistemi equivalenti se opero con le seguenti operazioni, dette elementari:
\begin{enumerate}
	\item scambiare di posto due equazioni
	\item moltiplicare una equazione per uno scalare non nullo
	\item sostituire una equazione con la soma di se stessa e un multipo scalare di un'alatra equazione
\end{enumerate}

il rango di una matrica $A$ è il numero di pivot nella sua forma a gradini, si indica con $rg(A)$ oppure con $rk(A)$

un sistema lineare è compatibile $\iff rg(A\vdots b)=rg(A)$, in tal caso, il sistema possiede $\infty^{n-r}$ soluzioni dove n è il numero di incognite, $r=rg(A)$

\section{algebra lineare}

spazio vettoriale (ancora un'altra struttura algebrica)

uno spazio vettoriale V su un campo $\mathbb K$ è un insieme V con due operazioni:
\begin{align*}
	&+:V\text x V \rightarrow V\ (v,w)\rightarrow v+w\n
	\cdot:\mathbb K \text xV\rightarrow V\ (c,v)\rightarrow c\cdot V
\end{align*}

\begin{enumerate}
	\item (V,+) è un gruppo abeliano, in pratica: esiste un elemento neutro, si indica con 0 e detto vettore nullo e esiste anche elemento inverso di W detto -W: $W+(-W)=0$
	\item $\forall c\in\mathbb K,\forall W,U\in V, c(W+U)=cW+cU$
	\item $\forall c_1,c_2\in\mathbb K, \forall W\in V,(c_1+c_2)W=c_1W+c_2W$
	\item $\forall c_1,c_2\in\mathbb K, \forall W\in V,(c_1c_2)W=c_1(c_2W)$
	\item $\forall W\in V, 1\cdot W = W$
	\item il vettore nullo 0 è unico
	\item $\forall W\in V, 0\cdot W=0$
	\item $\forall k\in\mathbb K, k\cdot0=0$
\end{enumerate}

un sottoinsieme non vuoto $W$ di uno spazio vettoriale V sul campo $\mathbb K$ è detto sottospazio vettoriale di V se:
\begin{enumerate}
	\item W è chiuso rispetto alla somma: $\forall w_1,w_2\in W \implies w_1+w_2\in W$
	\item W è chiuso rispetto alla moltiplicazione per uno scalare: $\forall c\in\mathbb K, w\in W \implies c\cdot w\in W$
\end{enumerate}

un vettore $v\in V$ è una combinazione lineare dei vettori $v_1, v_2,...,v_m\in V$ se $c_1v_1+c_2v_2+...+c_mv_m = v$ dove $c_1...c_m$ sono scalari

diciamo che i vettori $v_1...v_m\in V$ generano V se ogni vettore $v\in V$ è una combinazione lineare di $v_1...v_m$, si scrive $V=<v_1...v_m>$

dipendenza lineare, $v_1...v_m\in V$ sono vettori linearmente dipendenti se esistono scalari $c_1...c_m\in\mathbb R$ non tutti nulli tali che $c_1v_1...c_mv_m=0$. altrimenti si dicono linermente indipendenti

un vettore singolo $v\in V$ è linearmente indipendente $\iff v\neq 0$ 

una base di V è un insieme di vettori $\{v_1...v_n\}$ che genera V e sono linearmente indipendenti

\paragraph{equicardinalità delle basi} le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi. questo numero è detto dimensione di V, si indica con $\dim(V)$

se $\dim(V)=N$
\begin{enumerate}
	\item N vettori che generano V sono anche linearmente indipendenti
	\item N vettori lin. indip. di V allora generano V
\end{enumerate}

N vettori $v_1...v_n \in R^N$ formano una base $\iff rk(v_1,v_2...v_n)=N \iff det(v_1,v_2...v_n)\neq0$

\paragraph{estrazione di una base}
dati vettori di V che generano esiste un loro sottoinsieme formante una base di V (basta rimuovere i vettori dipendenti)

\paragraph{complemento ad una base} dati vettori di V linearmente indipendenti, possiamo aggiungere altri vettori in modo da ottenere una basei di V

\paragraph{sottospazi} un sottoinsieme non vuoto W di uno spazio vettorieale V è detto sottospazio se:
\begin{enumerate}
	\item W è chiuso rispetto alla somma ($\forall w_1,w_2\in W \implies w_1+w_2\in W$)
	\item W è chiuso rispetto alla moltiplicazione per uno scalare ($\forall w\in W,\forall c\in\mathbb R \implies c\cdot w\in W$)
\end{enumerate}

se $W\subseteq V$ sottospazio, allora $\dim(W)\leq \dim(V)$, inoltre se $\dim(W)=\dim(V)$ allora $W=V$

\paragraph{sottospazi generati da vettori} dati $v_1,v_2,...,v_m\in V$ lo spazio generato da questi vettori è definito come $<v_1, v_2...v_m>=\{c_1v_1+c_2v_2+...+c_mb_m, c_1...c_m \text{ variano in } \mathbb R\}$

$<v_1,v_2,...,v_m>\subseteq V$ è un sottospazio (la somma di combinazioni lineari è di nuovo una combinazione lineare)

\paragraph{sottospazio somma e intersezione}
\subparagraph{somma di sottospazio} \ 

siano $S\subseteq V$ e $T\subseteq V$ due sottospazi di V. $\dim(S)=M, \dim(T)=N$, definiamo $S+T=\{v+w|v\in S,w\in T\}\subseteq V$ in realtà è un sotospazio. come si trova una base di S+T? si parte da $B_S=\{v_1,...,v_m\}$ base di S e $B_T=\{w_1,...,w_n\}$ base di T allora S+T è generato da $v_1,...,v_m,w_1,...,w_n$ dai quali estraggo una base.

$\dim(S+T)\leq \dim(S)+\dim(T)$

\subparagraph{intersezione}\ 

$S, T$ sottospazi di $V$, $S\cap T=\{v\in V|v\in S, v\in T\} \subseteq V$ è un sottospazio

\subparagraph{formula di grassman}\ 

$\dim(S)+\dim(T)=\dim(S+T)+\dim(S\cap T) \implies \dim(S)+\dim(T)+\dim(S+T)=\dim(S\cap T)$

$S,T \subseteq V$ sottospazi, se $S+T=V$ e $S\cap T = \{0\}$ si dice che $V=S\oplus T$ è somma diretta di S e T. ogni $v\in V$ si scrive in modo unico come $v=v_1+v_2)$ con $v_1\in S$ e $v_2\in T$

\paragraph{applicazioni lineare}/omomorfismi tra spazi vettoriali

siano $V,W$ due spazi vettoriali in $\mathbb K$, un'applicazione lineare tra V e W è $f: V \to W, \forall v\in V, \forall k\in \mathbb K, f(\sum\limits^n_{i=1}k_iv_i) = \sum\limits^n_{i=1}k_if(v_i)$

$\ker(f)=\{v\in V|f(v)=0\}\subseteq V$

$\ker(f)$ è un sottospazio vettoriale di $V$

$\ker = \text{kernel}$

$Im(f)=\{w\in W|\exists v\in V f(v)=w\}\subseteq W$

$Im(f)$ è un sottospazio vettoriale di $W$

sia $f:V\to W$ applicazione lineare, sia $\dim(V)=n$ allora $n=\dim(V)=\dim(\ker(f))+\dim(Im(f))$

un'applicazione lineare si dice
\begin{enumerate}
	\item iniettiva quando la funzione è iniettiva
	\item surgettiva quando la funzione è surgettiva
	\item isomorfismo, quando è entrambe
\end{enumerate}

siano $V,W$ spazi vettoriali su $\mathbb K$, sia $B=\{v_1,...,v_n\}$ base di V, siano $w_1,...,w_n$ vettori qualsiasi di $W$, allora $\exists! f: V\to W$ applicazione lineare $\left\{ \begin{matrix}f(v_1)=w_1\\\vdots\\f(v_n)=w_n\end{matrix}\right. $

\paragraph{coordinate} V spazio vettoriale su $\mathbb R$ (in generale su un campo qualsiasi $\mathbb K$), fissiamo una base $B = \{v_1,...,v_n\}$ do V quindi $dim(V)=N$

ogni vettore $v\in V$ si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della base in modo unico, $v = x_1v_1+....+x_nv_n$ con $x_1,...,x_n \in \mathbb R$ univocamene

il vettore $\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\in\mathbb R^n$ è detto vettore delle coordinate. si indica con $[v]_B$ oppure con $\underline{x}$

\subparagraph{applicazione delle coordinate}

$V$ con vase $B,dim(V)=n$ definiamo l'applicazione delle coordinate (rispetto a $B$) $\phi_B:\begin{matrix}V\to\mathbb R^N\\v\to [v]_B\end{matrix}$

$\phi_B$ è lineare ed un isomorfismo, quindi lavorare in V è come lavorare in $\mathbb R^N$, che è piú semplice

ogni spazio vettoriale V di dimensione N è isomorfo a $\mathbb R^N$ (due spazi vettoriali $V$ e $W$ della stessa dimensione, diciamo $N$, sono isomorfi, perché entrambi isomorfi a $R^N$)

\subparagraph{matrice del cambiamento di coordinate} V fissiamo due basi: $B$ e $e$, $B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$, $e=\{w_1,...,w_n\}$

in particolare $dim(V) = n$, ogni vettore $v\in V$ ammette ue vettori di coordinate: $[v]_B$ e $[v]_e$

matrice del cambiamento di coordinate dalla base $B$ alla base $e$
$\leftindex_e{M}_B=$
\begin{math}
	\begin{pmatrix}
		|\qquad |\qquad\ |\ \ \\
		[v_1]_e\ [v_2]_e...[v_n]_e\\
		|\qquad |\qquad\ |\ \ \\
	\end{pmatrix}
\end{math}

$\forall v\in V, [v]_e=\leftindex_e{M}_B \cdot [v]_B$

\paragraph{matrice rappresentative}
$f: V\to W$ applicazione lineare, $B=\{v_1,...,v_n\}$ base di $V$, $e=\{w_1,...,w_m\}$ base di $W$

la matrice di rappresentazione di $f$ rispetto alle basi $B$ e in dominio e $e$ in codominio


$\leftindex_e{M}_B(f)=$
\begin{math}
	\begin{pmatrix}
		|\qquad |\qquad\ |\ \ \\
		[f(v_1)]_e\ [f(v_2)]_e...[f(v_n)]_e\\
		|\qquad |\qquad\ |\ \ \\
	\end{pmatrix}
\end{math}


$\leftindex_e{M}_B(f)=$ transforma le $B$-coordinate di $v$ nelle $e$-coordinate di $f(v)$

$\forall v\in V, [f(v)]_e=\leftindex_e{M}_B(f) \cdot [v]_B$

\paragraph{endomorfismo} se $W=V$, $f: V\to V$ è detto endomorfismo su $V$

siano $B$ e $e$ due basi di $V$ abbiamo due matrici di rappresentazione di $f$: $\leftindex_B{M}_B(f)$ e $\leftindex_e{M}_e(f)$, $\leftindex_e{M}_e(f)=\leftindex_e{M}_B \cdot\leftindex_B{M}_B(f) \cdot\leftindex_B{M}_e$

$\leftindex_e{M}_B=\leftindex_B{M}_e^{-1}$

$\leftindex_e{M}_e(f)=\leftindex_B{M}_e^{-1} \cdot\leftindex_B{M}_B(f) \cdot\leftindex_B{M}_e$ (formula di cambiamento delle matrici rappresentanti degli endomorfismi)

le matrici rappresentanti di un endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili

diciamo che un endomorfismo $f: V\to V$ è diagonalizzabile se siste una base $B$ di $V$ tale che la matrice rappresentante $\leftindex_B{M}_B(f)$ è diagonale

$f: V\to V$ endomorfismo e sia $A$ una matrice rappresentante di $f \implies det(A)\neq0\iff f$ suriettivo $\iff f$ iniettivo

\paragraph{rango}
il rango di una matrice $A$ è anche uguale al massimo ordine di un minore non nullo, un minore di ordine k è il determinante di una sottomatrice formata da k righe e k colonne

$\begin{pmatrix}
	1\ 0\ 0\\
	0\ 1\ 1\\
	0\ 2\ 2
\end{pmatrix},\left|\begin{matrix}
	1\ 0\\
	0\ 1
\end{matrix}\right| \neq 0,\left|\begin{matrix}
	1\ 0\ 0\\
	0\ 1\ 1\\
	0\ 2\ 2
\end{matrix}\right| = 0,$ max ordine minore non nullo è 2

\end{document}